Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10357 / 6281
↖ ↑ ↗
← N 80.975937°
W123.107300°		 ← 95.80 m → N 80.975937°
W123.101807°		 →
↑
95.82 m
↓
↑
95.82 m
↓
N 80.975076°
W123.107300°		 ← 95.81 m →
9 180 m²		 N 80.975076°
W123.101807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158042907714844 y=0.0958480834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158042907714844 × 216)
    floor (0.158042907714844 × 65536)
    floor (10357.5)     		tx = 10357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0958480834960938 × 216)
    floor (0.0958480834960938 × 65536)
    floor (6281.5)     		ty = 6281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10357 / 6281 ti = "16/10357/6281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10357/6281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10357 ÷ 216
    10357 ÷ 65536     		x = 0.158035278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6281 ÷ 216
    6281 ÷ 65536     		y = 0.0958404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158035278320312 × 2 - 1) × π
    -0.683929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14862771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0958404541015625 × 2 - 1) × π
    0.808319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53940932047285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14862771} λ = -2.14862771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53940932047285))-π/2
    2×atan(12.6721835603282)-π/2
    2×1.49204652310825-π/2
    2.98409304621649-1.57079632675     		φ = 1.41329672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14862771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.107300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41329672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.975937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10357 KachelY 6281 -2.14862771 1.41329672 -123.107300 80.975937
    Oben rechts KachelX + 1 10358 KachelY 6281 -2.14853184 1.41329672 -123.101807 80.975937
    Unten links KachelX 10357 KachelY + 1 6282 -2.14862771 1.41328168 -123.107300 80.975076
    Unten rechts KachelX + 1 10358 KachelY + 1 6282 -2.14853184 1.41328168 -123.101807 80.975076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41329672-1.41328168) × R
    1.50399999998552e-05 × 6371000     		dl = 95.8198399990773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41329672-1.41328168) × R
    1.50399999998552e-05 × 6371000     		dr = 95.8198399990773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14862771--2.14853184) × cos(1.41329672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156849254769357 × 6371000     		do = 95.8016065467356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14862771--2.14853184) × cos(1.41328168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156864108594845 × 6371000     		du = 95.8106790816812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41329672)-sin(1.41328168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156849254769357-0.156864108594845)×R²
    abs(-2.14853184--2.14862771)×1.48538254877151e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48538254877151e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48538254877151e-05×40589641000000     		ar = 9180.12927518236m²