Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10357 / 2524
↖ ↑ ↗
← N 77.019692°
E 47.570801°		 ← 548.80 m → N 77.019692°
E 47.592774°		 →
↑
548.93 m
↓
↑
548.93 m
↓
N 77.014755°
E 47.570801°		 ← 549 m →
301 306 m²		 N 77.014755°
E 47.592774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632171630859375 y=0.154083251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632171630859375 × 214)
    floor (0.632171630859375 × 16384)
    floor (10357.5)     		tx = 10357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154083251953125 × 214)
    floor (0.154083251953125 × 16384)
    floor (2524.5)     		ty = 2524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10357 / 2524 ti = "14/10357/2524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10357/2524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10357 ÷ 214
    10357 ÷ 16384     		x = 0.63214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2524 ÷ 214
    2524 ÷ 16384     		y = 0.154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63214111328125 × 2 - 1) × π
    0.2642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83026710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154052734375 × 2 - 1) × π
    0.69189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17365077637183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83026710} λ = 0.83026710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17365077637183))-π/2
    2×atan(8.79031701420744)-π/2
    2×1.45752176647008-π/2
    2.91504353294016-1.57079632675     		φ = 1.34424721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83026710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.570801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34424721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.019692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10357 KachelY 2524 0.83026710 1.34424721 47.570801 77.019692
    Oben rechts KachelX + 1 10358 KachelY 2524 0.83065060 1.34424721 47.592774 77.019692
    Unten links KachelX 10357 KachelY + 1 2525 0.83026710 1.34416105 47.570801 77.014755
    Unten rechts KachelX + 1 10358 KachelY + 1 2525 0.83065060 1.34416105 47.592774 77.014755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34424721-1.34416105) × R
    8.61599999999463e-05 × 6371000     		dl = 548.925359999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34424721-1.34416105) × R
    8.61599999999463e-05 × 6371000     		dr = 548.925359999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83026710-0.83065060) × cos(1.34424721) × R
    0.000383499999999981 × 0.224616163749478 × 6371000     		do = 548.799843641553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83026710-0.83065060) × cos(1.34416105) × R
    0.000383499999999981 × 0.224700121296721 × 6371000     		du = 549.004975311643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34424721)-sin(1.34416105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224616163749478-0.224700121296721)×R²
    abs(0.83065060-0.83026710)×8.39575472421916e-05×R²
    0.000383499999999981×8.39575472421916e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.39575472421916e-05×40589641000000     		ar = 301306.452912584m²