Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103553 / 97665
↖ ↑ ↗
← S 65.803902°
E104.416809°		 ← 125.18 m → S 65.803902°
E104.419556°		 →
↑
125.19 m
↓
↑
125.19 m
↓
S 65.805028°
E104.416809°		 ← 125.18 m →
15 671 m²		 S 65.805028°
E104.419556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790050506591797 y=0.745128631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790050506591797 × 217)
    floor (0.790050506591797 × 131072)
    floor (103553.5)     		tx = 103553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745128631591797 × 217)
    floor (0.745128631591797 × 131072)
    floor (97665.5)     		ty = 97665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103553 / 97665 ti = "17/103553/97665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103553/97665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103553 ÷ 217
    103553 ÷ 131072     		x = 0.790046691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97665 ÷ 217
    97665 ÷ 131072     		y = 0.745124816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790046691894531 × 2 - 1) × π
    0.580093383789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.82241711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745124816894531 × 2 - 1) × π
    -0.490249633789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54016464789278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82241711} λ = 1.82241711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54016464789278))-π/2
    2×atan(0.214345806936037)-π/2
    2×0.211150786951738-π/2
    0.422301573903476-1.57079632675     		φ = -1.14849475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82241711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.416809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14849475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.803902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103553 KachelY 97665 1.82241711 -1.14849475 104.416809 -65.803902
    Oben rechts KachelX + 1 103554 KachelY 97665 1.82246505 -1.14849475 104.419556 -65.803902
    Unten links KachelX 103553 KachelY + 1 97666 1.82241711 -1.14851440 104.416809 -65.805028
    Unten rechts KachelX + 1 103554 KachelY + 1 97666 1.82246505 -1.14851440 104.419556 -65.805028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14849475--1.14851440) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dl = 125.19015000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14849475--1.14851440) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dr = 125.19015000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82241711-1.82246505) × cos(-1.14849475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409860915515643 × 6371000     		do = 125.182073418361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82241711-1.82246505) × cos(-1.14851440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409842991727713 × 6371000     		du = 125.176599032168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14849475)-sin(-1.14851440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409860915515643-0.409842991727713)×R²
    abs(1.82246505-1.82241711)×1.79237879306404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79237879306404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79237879306404e-05×40589641000000     		ar = 15671.2198795071m²