Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103542 / 99730
↖ ↑ ↗
← S 68.026078°
E104.386597°		 ← 114.26 m → S 68.026078°
E104.389343°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
S 68.027105°
E104.386597°		 ← 114.26 m →
13 059 m²		 S 68.027105°
E104.389343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789966583251953 y=0.760883331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789966583251953 × 217)
    floor (0.789966583251953 × 131072)
    floor (103542.5)     		tx = 103542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760883331298828 × 217)
    floor (0.760883331298828 × 131072)
    floor (99730.5)     		ty = 99730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103542 / 99730 ti = "17/103542/99730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103542/99730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103542 ÷ 217
    103542 ÷ 131072     		x = 0.789962768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99730 ÷ 217
    99730 ÷ 131072     		y = 0.760879516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789962768554688 × 2 - 1) × π
    0.579925537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.82188981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760879516601562 × 2 - 1) × π
    -0.521759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6391543456082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82188981} λ = 1.82188981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6391543456082))-π/2
    2×atan(0.194144151745737)-π/2
    2×0.191758648300732-π/2
    0.383517296601464-1.57079632675     		φ = -1.18727903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82188981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.386597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18727903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.026078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103542 KachelY 99730 1.82188981 -1.18727903 104.386597 -68.026078
    Oben rechts KachelX + 1 103543 KachelY 99730 1.82193774 -1.18727903 104.389343 -68.026078
    Unten links KachelX 103542 KachelY + 1 99731 1.82188981 -1.18729697 104.386597 -68.027105
    Unten rechts KachelX + 1 103543 KachelY + 1 99731 1.82193774 -1.18729697 104.389343 -68.027105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18727903--1.18729697) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18727903--1.18729697) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82188981-1.82193774) × cos(-1.18727903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37418455742821 × 6371000     		do = 114.261756051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82188981-1.82193774) × cos(-1.18729697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374167920632635 × 6371000     		du = 114.25667580533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18727903)-sin(-1.18729697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37418455742821-0.374167920632635)×R²
    abs(1.82193774-1.82188981)×1.66367955745095e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66367955745095e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66367955745095e-05×40589641000000     		ar = 13059.3416366364m²