Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103528 / 98956
↖ ↑ ↗
← S 67.216799°
E104.348145°		 ← 118.27 m → S 67.216799°
E104.350891°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
S 67.217863°
E104.348145°		 ← 118.27 m →
13 993 m²		 S 67.217863°
E104.350891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789859771728516 y=0.754978179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789859771728516 × 217)
    floor (0.789859771728516 × 131072)
    floor (103528.5)     		tx = 103528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754978179931641 × 217)
    floor (0.754978179931641 × 131072)
    floor (98956.5)     		ty = 98956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103528 / 98956 ti = "17/103528/98956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103528/98956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103528 ÷ 217
    103528 ÷ 131072     		x = 0.78985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98956 ÷ 217
    98956 ÷ 131072     		y = 0.754974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78985595703125 × 2 - 1) × π
    0.5797119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.82121869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.50994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60205118530228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82121869} λ = 1.82121869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60205118530228))-π/2
    2×atan(0.201482815259898)-π/2
    2×0.198820936332272-π/2
    0.397641872664545-1.57079632675     		φ = -1.17315445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82121869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.348145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17315445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.216799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103528 KachelY 98956 1.82121869 -1.17315445 104.348145 -67.216799
    Oben rechts KachelX + 1 103529 KachelY 98956 1.82126663 -1.17315445 104.350891 -67.216799
    Unten links KachelX 103528 KachelY + 1 98957 1.82121869 -1.17317302 104.348145 -67.217863
    Unten rechts KachelX + 1 103529 KachelY + 1 98957 1.82126663 -1.17317302 104.350891 -67.217863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17315445--1.17317302) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dl = 118.309469999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17315445--1.17317302) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dr = 118.309469999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82121869-1.82126663) × cos(-1.17315445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387245286290785 × 6371000     		do = 118.274678126797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82121869-1.82126663) × cos(-1.17317302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387228165116164 × 6371000     		du = 118.269448879369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17315445)-sin(-1.17317302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387245286290785-0.387228165116164)×R²
    abs(1.82126663-1.82121869)×1.71211746205491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71211746205491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71211746205491e-05×40589641000000     		ar = 13992.705149321m²