Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103524 / 98323
↖ ↑ ↗
← S 66.534050°
E104.337158°		 ← 121.62 m → S 66.534050°
E104.339905°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
S 66.535143°
E104.337158°		 ← 121.62 m →
14 792 m²		 S 66.535143°
E104.339905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789829254150391 y=0.750148773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789829254150391 × 217)
    floor (0.789829254150391 × 131072)
    floor (103524.5)     		tx = 103524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750148773193359 × 217)
    floor (0.750148773193359 × 131072)
    floor (98323.5)     		ty = 98323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103524 / 98323 ti = "17/103524/98323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103524/98323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103524 ÷ 217
    103524 ÷ 131072     		x = 0.789825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98323 ÷ 217
    98323 ÷ 131072     		y = 0.750144958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789825439453125 × 2 - 1) × π
    0.57965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.82102694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750144958496094 × 2 - 1) × π
    -0.500289916992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.57170712784278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82102694} λ = 1.82102694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57170712784278))-π/2
    2×atan(0.207690325612756)-π/2
    2×0.204779049826256-π/2
    0.409558099652511-1.57079632675     		φ = -1.16123823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82102694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.337158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16123823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.534050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103524 KachelY 98323 1.82102694 -1.16123823 104.337158 -66.534050
    Oben rechts KachelX + 1 103525 KachelY 98323 1.82107488 -1.16123823 104.339905 -66.534050
    Unten links KachelX 103524 KachelY + 1 98324 1.82102694 -1.16125732 104.337158 -66.535143
    Unten rechts KachelX + 1 103525 KachelY + 1 98324 1.82107488 -1.16125732 104.339905 -66.535143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16123823--1.16125732) × R
    1.90900000001104e-05 × 6371000     		dl = 121.622390000703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16123823--1.16125732) × R
    1.90900000001104e-05 × 6371000     		dr = 121.622390000703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82102694-1.82107488) × cos(-1.16123823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39820401044664 × 6371000     		do = 121.621754561553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82102694-1.82107488) × cos(-1.16125732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398186499176643 × 6371000     		du = 121.616406168956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16123823)-sin(-1.16125732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39820401044664-0.398186499176643)×R²
    abs(1.82107488-1.82102694)×1.75112699966617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75112699966617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75112699966617e-05×40589641000000     		ar = 14791.6032239592m²