Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103524 / 98299
↖ ↑ ↗
← S 66.507787°
E104.337158°		 ← 121.75 m → S 66.507787°
E104.339905°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
S 66.508882°
E104.337158°		 ← 121.74 m →
14 823 m²		 S 66.508882°
E104.339905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789829254150391 y=0.749965667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789829254150391 × 217)
    floor (0.789829254150391 × 131072)
    floor (103524.5)     		tx = 103524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749965667724609 × 217)
    floor (0.749965667724609 × 131072)
    floor (98299.5)     		ty = 98299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103524 / 98299 ti = "17/103524/98299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103524/98299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103524 ÷ 217
    103524 ÷ 131072     		x = 0.789825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98299 ÷ 217
    98299 ÷ 131072     		y = 0.749961853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789825439453125 × 2 - 1) × π
    0.57965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.82102694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749961853027344 × 2 - 1) × π
    -0.499923706054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.5705566422519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82102694} λ = 1.82102694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5705566422519))-π/2
    2×atan(0.207929407843699)-π/2
    2×0.20500823472023-π/2
    0.410016469440459-1.57079632675     		φ = -1.16077986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82102694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.337158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16077986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.507787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103524 KachelY 98299 1.82102694 -1.16077986 104.337158 -66.507787
    Oben rechts KachelX + 1 103525 KachelY 98299 1.82107488 -1.16077986 104.339905 -66.507787
    Unten links KachelX 103524 KachelY + 1 98300 1.82102694 -1.16079897 104.337158 -66.508882
    Unten rechts KachelX + 1 103525 KachelY + 1 98300 1.82107488 -1.16079897 104.339905 -66.508882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16077986--1.16079897) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16077986--1.16079897) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82102694-1.82107488) × cos(-1.16077986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398624429970864 × 6371000     		do = 121.75016150585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82102694-1.82107488) × cos(-1.16079897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398606903844591 × 6371000     		du = 121.744808575763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16077986)-sin(-1.16079897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398624429970864-0.398606903844591)×R²
    abs(1.82107488-1.82102694)×1.75261262732596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75261262732596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75261262732596e-05×40589641000000     		ar = 14822.7331722886m²