Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103520 / 98462
↖ ↑ ↗
← S 66.685610°
E104.326172°		 ← 120.86 m → S 66.685610°
E104.328918°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.686697°
E104.326172°		 ← 120.85 m →
14 606 m²		 S 66.686697°
E104.328918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789798736572266 y=0.751209259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789798736572266 × 217)
    floor (0.789798736572266 × 131072)
    floor (103520.5)     		tx = 103520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751209259033203 × 217)
    floor (0.751209259033203 × 131072)
    floor (98462.5)     		ty = 98462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103520 / 98462 ti = "17/103520/98462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103520/98462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103520 ÷ 217
    103520 ÷ 131072     		x = 0.789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98462 ÷ 217
    98462 ÷ 131072     		y = 0.751205444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789794921875 × 2 - 1) × π
    0.57958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.82083520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751205444335938 × 2 - 1) × π
    -0.502410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57837035688997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82083520} λ = 1.82083520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57837035688997))-π/2
    2×atan(0.206311037760955)-π/2
    2×0.203456435235539-π/2
    0.406912870471079-1.57079632675     		φ = -1.16388346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82083520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16388346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.685610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103520 KachelY 98462 1.82083520 -1.16388346 104.326172 -66.685610
    Oben rechts KachelX + 1 103521 KachelY 98462 1.82088313 -1.16388346 104.328918 -66.685610
    Unten links KachelX 103520 KachelY + 1 98463 1.82083520 -1.16390243 104.326172 -66.686697
    Unten rechts KachelX + 1 103521 KachelY + 1 98463 1.82088313 -1.16390243 104.328918 -66.686697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16388346--1.16390243) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16388346--1.16390243) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82083520-1.82088313) × cos(-1.16388346) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.395776158886451 × 6371000     		do = 120.855011302683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82083520-1.82088313) × cos(-1.16390243) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.395758737772447 × 6371000     		du = 120.849691555946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16388346)-sin(-1.16390243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395776158886451-0.395758737772447)×R²
    abs(1.82088313-1.82083520)×1.74211140039904e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.74211140039904e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.74211140039904e-05×40589641000000     		ar = 14605.9577786138m²