Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10352 / 5776
↖ ↑ ↗
← N 75.095633°
W 66.269531°		 ← 314.20 m → N 75.095633°
W 66.258545°		 →
↑
314.28 m
↓
↑
314.28 m
↓
N 75.092807°
W 66.269531°		 ← 314.26 m →
98 755 m²		 N 75.092807°
W 66.258545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.315933227539062 y=0.176284790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.315933227539062 × 215)
    floor (0.315933227539062 × 32768)
    floor (10352.5)     		tx = 10352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176284790039062 × 215)
    floor (0.176284790039062 × 32768)
    floor (5776.5)     		ty = 5776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10352 / 5776 ti = "15/10352/5776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10352/5776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10352 ÷ 215
    10352 ÷ 32768     		x = 0.31591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5776 ÷ 215
    5776 ÷ 32768     		y = 0.17626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.31591796875 × 2 - 1) × π
    -0.3681640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.15662151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17626953125 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03405852467822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15662151} λ = -1.15662151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03405852467822))-π/2
    2×atan(7.64505110926791)-π/2
    2×1.44073118588072-π/2
    2.88146237176145-1.57079632675     		φ = 1.31066605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15662151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -66.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31066605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.095633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10352 KachelY 5776 -1.15662151 1.31066605 -66.269531 75.095633
    Oben rechts KachelX + 1 10353 KachelY 5776 -1.15642977 1.31066605 -66.258545 75.095633
    Unten links KachelX 10352 KachelY + 1 5777 -1.15662151 1.31061672 -66.269531 75.092807
    Unten rechts KachelX + 1 10353 KachelY + 1 5777 -1.15642977 1.31061672 -66.258545 75.092807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31066605-1.31061672) × R
    4.93299999999586e-05 × 6371000     		dl = 314.281429999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31066605-1.31061672) × R
    4.93299999999586e-05 × 6371000     		dr = 314.281429999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15662151--1.15642977) × cos(1.31066605) × R
    0.000191739999999996 × 0.257206447899179 × 6371000     		do = 314.197105483915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15662151--1.15642977) × cos(1.31061672) × R
    0.000191739999999996 × 0.257254117951285 × 6371000     		du = 314.255338053558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31066605)-sin(1.31061672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257206447899179-0.257254117951285)×R²
    abs(-1.15642977--1.15662151)×4.76700521059858e-05×R²
    0.000191739999999996×4.76700521059858e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.76700521059858e-05×40589641000000     		ar = 98755.4663412242m²