Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10352 / 11889
↖ ↑ ↗
← S 62.764783°
E 47.460938°		 ← 1 118.12 m → S 62.764783°
E 47.482910°		 →
↑
1 117.98 m
↓
↑
1 117.98 m
↓
S 62.774837°
E 47.460938°		 ← 1 117.74 m →
1 249 830 m²		 S 62.774837°
E 47.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631866455078125 y=0.725677490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631866455078125 × 214)
    floor (0.631866455078125 × 16384)
    floor (10352.5)     		tx = 10352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725677490234375 × 214)
    floor (0.725677490234375 × 16384)
    floor (11889.5)     		ty = 11889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10352 / 11889 ti = "14/10352/11889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10352/11889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10352 ÷ 214
    10352 ÷ 16384     		x = 0.6318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11889 ÷ 214
    11889 ÷ 16384     		y = 0.72564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6318359375 × 2 - 1) × π
    0.263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82834963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.4512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41778174316278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82834963} λ = 0.82834963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41778174316278))-π/2
    2×atan(0.242250795804302)-π/2
    2×0.237672101898923-π/2
    0.475344203797845-1.57079632675     		φ = -1.09545212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82834963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.460938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09545212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.764783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10352 KachelY 11889 0.82834963 -1.09545212 47.460938 -62.764783
    Oben rechts KachelX + 1 10353 KachelY 11889 0.82873312 -1.09545212 47.482910 -62.764783
    Unten links KachelX 10352 KachelY + 1 11890 0.82834963 -1.09562760 47.460938 -62.774837
    Unten rechts KachelX + 1 10353 KachelY + 1 11890 0.82873312 -1.09562760 47.482910 -62.774837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09545212--1.09562760) × R
    0.000175480000000006 × 6371000     		dl = 1117.98308000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09545212--1.09562760) × R
    0.000175480000000006 × 6371000     		dr = 1117.98308000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82834963-0.82873312) × cos(-1.09545212) × R
    0.000383490000000042 × 0.457644520678001 × 6371000     		do = 1118.12386148308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82834963-0.82873312) × cos(-1.09562760) × R
    0.000383490000000042 × 0.457488488178965 × 6371000     		du = 1117.74264057371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09545212)-sin(-1.09562760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457644520678001-0.457488488178965)×R²
    abs(0.82873312-0.82834963)×0.000156032499036007×R²
    0.000383490000000042×0.000156032499036007×6371000²
    0.000383490000000042×0.000156032499036007×40589641000000     		ar = 1249830.46242526m²