Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10351 / 2672
N 76.268695°
E 47.438965°
← 579.96 m → N 76.268695°
E 47.460938°

580.08 m

580.08 m
N 76.263478°
E 47.438965°
← 580.17 m →
336 485 m²
N 76.263478°
E 47.460938°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631805419921875 y=0.163116455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631805419921875 × 214)
    floor (0.631805419921875 × 16384)
    floor (10351.5)
    tx = 10351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163116455078125 × 214)
    floor (0.163116455078125 × 16384)
    floor (2672.5)
    ty = 2672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10351 / 2672 ti = "14/10351/2672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10351/2672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10351 ÷ 214
    10351 ÷ 16384
    x = 0.63177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2672 ÷ 214
    2672 ÷ 16384
    y = 0.1630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.63177490234375 × 2 - 1) × π
    0.2635498046875 × 3.1415926535
    Λ = 0.82796613
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    0.673828125 × 3.1415926535
    Φ = 2.11689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82796613} λ = 0.82796613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11689348722168))-π/2
    2×atan(8.30529686052456)-π/2
    2×1.45096808231764-π/2
    2.90193616463529-1.57079632675
    φ = 1.33113984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82796613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.438965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33113984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.268695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10351 KachelY 2672 0.82796613 1.33113984 47.438965 76.268695
    Oben rechts KachelX + 1 10352 KachelY 2672 0.82834963 1.33113984 47.460938 76.268695
    Unten links KachelX 10351 KachelY + 1 2673 0.82796613 1.33104879 47.438965 76.263478
    Unten rechts KachelX + 1 10352 KachelY + 1 2673 0.82834963 1.33104879 47.460938 76.263478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.33113984-1.33104879) × R
    9.10499999999814e-05 × 6371000
    dl = 580.079549999882m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.33113984-1.33104879) × R
    9.10499999999814e-05 × 6371000
    dr = 580.079549999882m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.82796613-0.82834963) × cos(1.33113984) × R
    0.000383499999999981 × 0.237368944988105 × 6371000
    do = 579.95843985709m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.82796613-0.82834963) × cos(1.33104879) × R
    0.000383499999999981 × 0.237457391756064 × 6371000
    du = 580.17453994364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.33113984)-sin(1.33104879))×
    abs(λ12)×abs(0.237368944988105-0.237457391756064)×
    abs(0.82834963-0.82796613)×8.8446767959327e-05×
    0.000383499999999981×8.8446767959327e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.8446767959327e-05×40589641000000
    ar = 336484.70866428m²