Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103507 / 98461
↖ ↑ ↗
← S 66.684523°
E104.290467°		 ← 120.86 m → S 66.684523°
E104.293213°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.685610°
E104.290467°		 ← 120.86 m →
14 614 m²		 S 66.685610°
E104.293213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789699554443359 y=0.751201629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789699554443359 × 217)
    floor (0.789699554443359 × 131072)
    floor (103507.5)     		tx = 103507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751201629638672 × 217)
    floor (0.751201629638672 × 131072)
    floor (98461.5)     		ty = 98461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103507 / 98461 ti = "17/103507/98461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103507/98461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103507 ÷ 217
    103507 ÷ 131072     		x = 0.789695739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98461 ÷ 217
    98461 ÷ 131072     		y = 0.751197814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789695739746094 × 2 - 1) × π
    0.579391479492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.82021202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751197814941406 × 2 - 1) × π
    -0.502395629882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57832241999035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82021202} λ = 1.82021202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57832241999035))-π/2
    2×atan(0.206320927909513)-π/2
    2×0.203465921585426-π/2
    0.406931843170852-1.57079632675     		φ = -1.16386448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82021202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.290467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16386448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.684523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103507 KachelY 98461 1.82021202 -1.16386448 104.290467 -66.684523
    Oben rechts KachelX + 1 103508 KachelY 98461 1.82025995 -1.16386448 104.293213 -66.684523
    Unten links KachelX 103507 KachelY + 1 98462 1.82021202 -1.16388346 104.290467 -66.685610
    Unten rechts KachelX + 1 103508 KachelY + 1 98462 1.82025995 -1.16388346 104.293213 -66.685610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16386448--1.16388346) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dl = 120.921580000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16386448--1.16388346) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dr = 120.921580000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82021202-1.82025995) × cos(-1.16386448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395793589041426 × 6371000     		do = 120.86033381075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82021202-1.82025995) × cos(-1.16388346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395776158886451 × 6371000     		du = 120.855011303243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16386448)-sin(-1.16388346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395793589041426-0.395776158886451)×R²
    abs(1.82025995-1.82021202)×1.74301549748512e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74301549748512e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74301549748512e-05×40589641000000     		ar = 14614.300721174m²