Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103506 / 98502
↖ ↑ ↗
← S 66.729053°
E104.287720°		 ← 120.67 m → S 66.729053°
E104.290467°		 →
↑
120.67 m
↓
↑
120.67 m
↓
S 66.730138°
E104.287720°		 ← 120.66 m →
14 560 m²		 S 66.730138°
E104.290467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789691925048828 y=0.751514434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789691925048828 × 217)
    floor (0.789691925048828 × 131072)
    floor (103506.5)     		tx = 103506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751514434814453 × 217)
    floor (0.751514434814453 × 131072)
    floor (98502.5)     		ty = 98502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103506 / 98502 ti = "17/103506/98502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103506/98502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103506 ÷ 217
    103506 ÷ 131072     		x = 0.789688110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98502 ÷ 217
    98502 ÷ 131072     		y = 0.751510620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789688110351562 × 2 - 1) × π
    0.579376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.82016408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751510620117188 × 2 - 1) × π
    -0.503021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58028783287477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82016408} λ = 1.82016408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58028783287477))-π/2
    2×atan(0.205915820331705)-π/2
    2×0.20307732351712-π/2
    0.40615464703424-1.57079632675     		φ = -1.16464168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82016408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.287720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16464168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.729053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103506 KachelY 98502 1.82016408 -1.16464168 104.287720 -66.729053
    Oben rechts KachelX + 1 103507 KachelY 98502 1.82021202 -1.16464168 104.290467 -66.729053
    Unten links KachelX 103506 KachelY + 1 98503 1.82016408 -1.16466062 104.287720 -66.730138
    Unten rechts KachelX + 1 103507 KachelY + 1 98503 1.82021202 -1.16466062 104.290467 -66.730138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16464168--1.16466062) × R
    1.89400000001338e-05 × 6371000     		dl = 120.666740000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16464168--1.16466062) × R
    1.89400000001338e-05 × 6371000     		dr = 120.666740000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82016408-1.82021202) × cos(-1.16464168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395079736117348 × 6371000     		do = 120.667520762567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82016408-1.82021202) × cos(-1.16466062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395062336875487 × 6371000     		du = 120.662206586246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16464168)-sin(-1.16466062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395079736117348-0.395062336875487)×R²
    abs(1.82021202-1.82016408)×1.73992418611157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73992418611157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73992418611157e-05×40589641000000     		ar = 14560.2357326156m²