Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103505 / 99734
↖ ↑ ↗
← S 68.030188°
E104.284973°		 ← 114.27 m → S 68.030188°
E104.287720°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
S 68.031216°
E104.284973°		 ← 114.26 m →
13 060 m²		 S 68.031216°
E104.287720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789684295654297 y=0.760913848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789684295654297 × 217)
    floor (0.789684295654297 × 131072)
    floor (103505.5)     		tx = 103505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760913848876953 × 217)
    floor (0.760913848876953 × 131072)
    floor (99734.5)     		ty = 99734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103505 / 99734 ti = "17/103505/99734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103505/99734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103505 ÷ 217
    103505 ÷ 131072     		x = 0.789680480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99734 ÷ 217
    99734 ÷ 131072     		y = 0.760910034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789680480957031 × 2 - 1) × π
    0.579360961914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.82011614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760910034179688 × 2 - 1) × π
    -0.521820068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63934609320668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82011614} λ = 1.82011614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63934609320668))-π/2
    2×atan(0.194106928639716)-π/2
    2×0.191722776995018-π/2
    0.383445553990036-1.57079632675     		φ = -1.18735077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82011614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.284973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18735077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.030188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103505 KachelY 99734 1.82011614 -1.18735077 104.284973 -68.030188
    Oben rechts KachelX + 1 103506 KachelY 99734 1.82016408 -1.18735077 104.287720 -68.030188
    Unten links KachelX 103505 KachelY + 1 99735 1.82011614 -1.18736871 104.284973 -68.031216
    Unten rechts KachelX + 1 103506 KachelY + 1 99735 1.82016408 -1.18736871 104.287720 -68.031216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18735077--1.18736871) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18735077--1.18736871) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82011614-1.82016408) × cos(-1.18735077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374118028071014 × 6371000     		do = 114.265275570855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82011614-1.82016408) × cos(-1.18736871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374101390793911 × 6371000     		du = 114.260194118185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18735077)-sin(-1.18736871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374118028071014-0.374101390793911)×R²
    abs(1.82016408-1.82011614)×1.66372771023826e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66372771023826e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66372771023826e-05×40589641000000     		ar = 13059.7438336755m²