Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103502 / 99022
↖ ↑ ↗
← S 67.286894°
E104.276733°		 ← 117.93 m → S 67.286894°
E104.279480°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
S 67.287955°
E104.276733°		 ← 117.92 m →
13 907 m²		 S 67.287955°
E104.279480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789661407470703 y=0.755481719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789661407470703 × 217)
    floor (0.789661407470703 × 131072)
    floor (103502.5)     		tx = 103502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755481719970703 × 217)
    floor (0.755481719970703 × 131072)
    floor (99022.5)     		ty = 99022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103502 / 99022 ti = "17/103502/99022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103502/99022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103502 ÷ 217
    103502 ÷ 131072     		x = 0.789657592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99022 ÷ 217
    99022 ÷ 131072     		y = 0.755477905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789657592773438 × 2 - 1) × π
    0.579315185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81997233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755477905273438 × 2 - 1) × π
    -0.510955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6052150206772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81997233} λ = 1.81997233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6052150206772))-π/2
    2×atan(0.200846364145713)-π/2
    2×0.198209238912545-π/2
    0.39641847782509-1.57079632675     		φ = -1.17437785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81997233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.276733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17437785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.286894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103502 KachelY 99022 1.81997233 -1.17437785 104.276733 -67.286894
    Oben rechts KachelX + 1 103503 KachelY 99022 1.82002027 -1.17437785 104.279480 -67.286894
    Unten links KachelX 103502 KachelY + 1 99023 1.81997233 -1.17439636 104.276733 -67.287955
    Unten rechts KachelX + 1 103503 KachelY + 1 99023 1.82002027 -1.17439636 104.279480 -67.287955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17437785--1.17439636) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dl = 117.927210000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17437785--1.17439636) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dr = 117.927210000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81997233-1.82002027) × cos(-1.17437785) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.386117050445836 × 6371000     		do = 117.930085859506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81997233-1.82002027) × cos(-1.17439636) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.386099975833995 × 6371000     		du = 117.924870833549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17437785)-sin(-1.17439636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386117050445836-0.386099975833995)×R²
    abs(1.82002027-1.81997233)×1.70746118408616e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70746118408616e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70746118408616e-05×40589641000000     		ar = 13906.8585042872m²