Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103501 / 99735
↖ ↑ ↗
← S 68.031216°
E104.273987°		 ← 114.26 m → S 68.031216°
E104.276733°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 68.032243°
E104.273987°		 ← 114.26 m →
13 052 m²		 S 68.032243°
E104.276733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789653778076172 y=0.760921478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789653778076172 × 217)
    floor (0.789653778076172 × 131072)
    floor (103501.5)     		tx = 103501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760921478271484 × 217)
    floor (0.760921478271484 × 131072)
    floor (99735.5)     		ty = 99735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103501 / 99735 ti = "17/103501/99735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103501/99735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103501 ÷ 217
    103501 ÷ 131072     		x = 0.789649963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99735 ÷ 217
    99735 ÷ 131072     		y = 0.760917663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789649963378906 × 2 - 1) × π
    0.579299926757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.81992439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760917663574219 × 2 - 1) × π
    -0.521835327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6393940301063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81992439} λ = 1.81992439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6393940301063))-π/2
    2×atan(0.194097623978382)-π/2
    2×0.191713810165217-π/2
    0.383427620330434-1.57079632675     		φ = -1.18736871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81992439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.273987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18736871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.031216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103501 KachelY 99735 1.81992439 -1.18736871 104.273987 -68.031216
    Oben rechts KachelX + 1 103502 KachelY 99735 1.81997233 -1.18736871 104.276733 -68.031216
    Unten links KachelX 103501 KachelY + 1 99736 1.81992439 -1.18738664 104.273987 -68.032243
    Unten rechts KachelX + 1 103502 KachelY + 1 99736 1.81997233 -1.18738664 104.276733 -68.032243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18736871--1.18738664) × R
    1.79299999998328e-05 × 6371000     		dl = 114.232029998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18736871--1.18738664) × R
    1.79299999998328e-05 × 6371000     		dr = 114.232029998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81992439-1.81997233) × cos(-1.18736871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374101390793911 × 6371000     		do = 114.260194118185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81992439-1.81997233) × cos(-1.18738664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374084762670352 × 6371000     		du = 114.255115461242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18736871)-sin(-1.18738664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374101390793911-0.374084762670352)×R²
    abs(1.81997233-1.81992439)×1.66281235591259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66281235591259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66281235591259e-05×40589641000000     		ar = 13051.8838500394m²