Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103500 / 99738
↖ ↑ ↗
← S 68.034298°
E104.271240°		 ← 114.22 m → S 68.034298°
E104.273987°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 68.035325°
E104.271240°		 ← 114.22 m →
13 047 m²		 S 68.035325°
E104.273987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789646148681641 y=0.760944366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789646148681641 × 217)
    floor (0.789646148681641 × 131072)
    floor (103500.5)     		tx = 103500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760944366455078 × 217)
    floor (0.760944366455078 × 131072)
    floor (99738.5)     		ty = 99738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103500 / 99738 ti = "17/103500/99738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103500/99738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103500 ÷ 217
    103500 ÷ 131072     		x = 0.789642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99738 ÷ 217
    99738 ÷ 131072     		y = 0.760940551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789642333984375 × 2 - 1) × π
    0.57928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81987646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760940551757812 × 2 - 1) × π
    -0.521881103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63953784080516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81987646} λ = 1.81987646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63953784080516))-π/2
    2×atan(0.194069712670451)-π/2
    2×0.191686912067483-π/2
    0.383373824134967-1.57079632675     		φ = -1.18742250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81987646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.271240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18742250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.034298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103500 KachelY 99738 1.81987646 -1.18742250 104.271240 -68.034298
    Oben rechts KachelX + 1 103501 KachelY 99738 1.81992439 -1.18742250 104.273987 -68.034298
    Unten links KachelX 103500 KachelY + 1 99739 1.81987646 -1.18744043 104.271240 -68.035325
    Unten rechts KachelX + 1 103501 KachelY + 1 99739 1.81992439 -1.18744043 104.273987 -68.035325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18742250--1.18744043) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18742250--1.18744043) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81987646-1.81992439) × cos(-1.18742250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374051506062451 × 6371000     		do = 114.221127215857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81987646-1.81992439) × cos(-1.18744043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37403487757812 × 6371000     		du = 114.216049508126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18742250)-sin(-1.18744043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374051506062451-0.37403487757812)×R²
    abs(1.81992439-1.81987646)×1.66284843311493e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66284843311493e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66284843311493e-05×40589641000000     		ar = 13047.421212804m²