Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10350 / 2673
↖ ↑ ↗
← N 76.263478°
E 47.416992°		 ← 580.16 m → N 76.263478°
E 47.438965°		 →
↑
580.27 m
↓
↑
580.27 m
↓
N 76.258259°
E 47.416992°		 ← 580.38 m →
336 712 m²		 N 76.258259°
E 47.438965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631744384765625 y=0.163177490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631744384765625 × 214)
    floor (0.631744384765625 × 16384)
    floor (10350.5)     		tx = 10350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163177490234375 × 214)
    floor (0.163177490234375 × 16384)
    floor (2673.5)     		ty = 2673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10350 / 2673 ti = "14/10350/2673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10350/2673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10350 ÷ 214
    10350 ÷ 16384     		x = 0.6317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2673 ÷ 214
    2673 ÷ 16384     		y = 0.16314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6317138671875 × 2 - 1) × π
    0.263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82758264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16314697265625 × 2 - 1) × π
    0.6737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11650999202472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82758264} λ = 0.82758264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11650999202472))-π/2
    2×atan(8.30211242971521)-π/2
    2×1.45092255891315-π/2
    2.9018451178263-1.57079632675     		φ = 1.33104879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82758264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.416992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33104879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.263478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10350 KachelY 2673 0.82758264 1.33104879 47.416992 76.263478
    Oben rechts KachelX + 1 10351 KachelY 2673 0.82796613 1.33104879 47.438965 76.263478
    Unten links KachelX 10350 KachelY + 1 2674 0.82758264 1.33095771 47.416992 76.258259
    Unten rechts KachelX + 1 10351 KachelY + 1 2674 0.82796613 1.33095771 47.438965 76.258259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33104879-1.33095771) × R
    9.10800000000211e-05 × 6371000     		dl = 580.270680000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33104879-1.33095771) × R
    9.10800000000211e-05 × 6371000     		dr = 580.270680000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82758264-0.82796613) × cos(1.33104879) × R
    0.000383489999999931 × 0.237457391756064 × 6371000     		do = 580.159411533135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82758264-0.82796613) × cos(1.33095771) × R
    0.000383489999999931 × 0.237545865696767 × 6371000     		du = 580.37557237359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33104879)-sin(1.33095771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237457391756064-0.237545865696767)×R²
    abs(0.82796613-0.82758264)×8.84739407030488e-05×R²
    0.000383489999999931×8.84739407030488e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.84739407030488e-05×40589641000000     		ar = 336712.212370079m²