Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1035 / 3122
↖ ↑ ↗
← N 39.300299°
W134.516602°		 ← 3 781.35 m → N 39.300299°
W134.472657°		 →
↑
3 782.27 m
↓
↑
3 782.27 m
↓
N 39.266285°
W134.516602°		 ← 3 783.19 m →
14 305 562 m²		 N 39.266285°
W134.472657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12640380859375 y=0.38116455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12640380859375 × 213)
    floor (0.12640380859375 × 8192)
    floor (1035.5)     		tx = 1035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38116455078125 × 213)
    floor (0.38116455078125 × 8192)
    floor (3122.5)     		ty = 3122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1035 / 3122 ti = "13/1035/3122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1035/3122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1035 ÷ 213
    1035 ÷ 8192     		x = 0.1263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3122 ÷ 213
    3122 ÷ 8192     		y = 0.381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34775760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381103515625 × 2 - 1) × π
    0.23779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.747048643678955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34775760} λ = -2.34775760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.747048643678955))-π/2
    2×atan(2.11076120623681)-π/2
    2×1.12835797229777-π/2
    2.25671594459554-1.57079632675     		φ = 0.68591962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34775760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.516602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68591962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.300299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1035 KachelY 3122 -2.34775760 0.68591962 -134.516602 39.300299
    Oben rechts KachelX + 1 1036 KachelY 3122 -2.34699061 0.68591962 -134.472657 39.300299
    Unten links KachelX 1035 KachelY + 1 3123 -2.34775760 0.68532595 -134.516602 39.266285
    Unten rechts KachelX + 1 1036 KachelY + 1 3123 -2.34699061 0.68532595 -134.472657 39.266285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68591962-0.68532595) × R
    0.000593669999999991 × 6371000     		dl = 3782.27156999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68591962-0.68532595) × R
    0.000593669999999991 × 6371000     		dr = 3782.27156999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34775760--2.34699061) × cos(0.68591962) × R
    0.000766989999999801 × 0.773836900955659 × 6371000     		do = 3781.34882407324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34775760--2.34699061) × cos(0.68532595) × R
    0.000766989999999801 × 0.77421278618903 × 6371000     		du = 3783.18558474392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68591962)-sin(0.68532595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773836900955659-0.77421278618903)×R²
    abs(-2.34699061--2.34775760)×0.000375885233370732×R²
    0.000766989999999801×0.000375885233370732×6371000²
    0.000766989999999801×0.000375885233370732×40589641000000     		ar = 14305562.137535m²