Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103497 / 99021
↖ ↑ ↗
← S 67.285834°
E104.263001°		 ← 117.91 m → S 67.285834°
E104.265747°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
S 67.286894°
E104.263001°		 ← 117.91 m →
13 905 m²		 S 67.286894°
E104.265747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789623260498047 y=0.755474090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789623260498047 × 217)
    floor (0.789623260498047 × 131072)
    floor (103497.5)     		tx = 103497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755474090576172 × 217)
    floor (0.755474090576172 × 131072)
    floor (99021.5)     		ty = 99021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103497 / 99021 ti = "17/103497/99021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103497/99021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103497 ÷ 217
    103497 ÷ 131072     		x = 0.789619445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99021 ÷ 217
    99021 ÷ 131072     		y = 0.755470275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789619445800781 × 2 - 1) × π
    0.579238891601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.81973265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755470275878906 × 2 - 1) × π
    -0.510940551757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.60516708377758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81973265} λ = 1.81973265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60516708377758))-π/2
    2×atan(0.200855992328481)-π/2
    2×0.198218493744332-π/2
    0.396436987488663-1.57079632675     		φ = -1.17435934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81973265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.263001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17435934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.285834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103497 KachelY 99021 1.81973265 -1.17435934 104.263001 -67.285834
    Oben rechts KachelX + 1 103498 KachelY 99021 1.81978058 -1.17435934 104.265747 -67.285834
    Unten links KachelX 103497 KachelY + 1 99022 1.81973265 -1.17437785 104.263001 -67.286894
    Unten rechts KachelX + 1 103498 KachelY + 1 99022 1.81978058 -1.17437785 104.265747 -67.286894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17435934--1.17437785) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dl = 117.927209999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17435934--1.17437785) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dr = 117.927209999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81973265-1.81978058) × cos(-1.17435934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386134124925385 × 6371000     		do = 117.910700239561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81973265-1.81978058) × cos(-1.17437785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386117050445836 × 6371000     		du = 117.905486341825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17435934)-sin(-1.17437785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386134124925385-0.386117050445836)×R²
    abs(1.81978058-1.81973265)×1.7074479549184e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7074479549184e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7074479549184e-05×40589641000000     		ar = 13904.5724783285m²