Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10349 / 6120
↖ ↑ ↗
← N 81.113602°
W123.151245°		 ← 94.36 m → N 81.113602°
W123.145752°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
N 81.112754°
W123.151245°		 ← 94.37 m →
8 904 m²		 N 81.112754°
W123.145752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157920837402344 y=0.0933914184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157920837402344 × 216)
    floor (0.157920837402344 × 65536)
    floor (10349.5)     		tx = 10349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933914184570312 × 216)
    floor (0.0933914184570312 × 65536)
    floor (6120.5)     		ty = 6120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10349 / 6120 ti = "16/10349/6120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10349/6120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10349 ÷ 216
    10349 ÷ 65536     		x = 0.157913208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6120 ÷ 216
    6120 ÷ 65536     		y = 0.0933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157913208007812 × 2 - 1) × π
    -0.684173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14939471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0933837890625 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55484500215051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14939471} λ = -2.14939471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55484500215051))-π/2
    2×atan(12.8693047883593)-π/2
    2×1.49324787914883-π/2
    2.98649575829767-1.57079632675     		φ = 1.41569943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14939471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.151245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41569943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.113602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10349 KachelY 6120 -2.14939471 1.41569943 -123.151245 81.113602
    Oben rechts KachelX + 1 10350 KachelY 6120 -2.14929883 1.41569943 -123.145752 81.113602
    Unten links KachelX 10349 KachelY + 1 6121 -2.14939471 1.41568462 -123.151245 81.112754
    Unten rechts KachelX + 1 10350 KachelY + 1 6121 -2.14929883 1.41568462 -123.145752 81.112754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41569943-1.41568462) × R
    1.48100000001428e-05 × 6371000     		dl = 94.3545100009096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41569943-1.41568462) × R
    1.48100000001428e-05 × 6371000     		dr = 94.3545100009096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14939471--2.14929883) × cos(1.41569943) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15447583371691 × 6371000     		do = 94.3617916501465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14939471--2.14929883) × cos(1.41568462) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154490465929129 × 6371000     		du = 94.3707297586359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41569943)-sin(1.41568462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15447583371691-0.154490465929129)×R²
    abs(-2.14929883--2.14939471)×1.4632212218757e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4632212218757e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4632212218757e-05×40589641000000     		ar = 8903.882289698m²