Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10347 / 6102
↖ ↑ ↗
← N 81.128864°
W123.162231°		 ← 94.19 m → N 81.128864°
W123.156738°		 →
↑
94.23 m
↓
↑
94.23 m
↓
N 81.128016°
W123.162231°		 ← 94.20 m →
8 876 m²		 N 81.128016°
W123.156738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157890319824219 y=0.0931167602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157890319824219 × 216)
    floor (0.157890319824219 × 65536)
    floor (10347.5)     		tx = 10347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0931167602539062 × 216)
    floor (0.0931167602539062 × 65536)
    floor (6102.5)     		ty = 6102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10347 / 6102 ti = "16/10347/6102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10347/6102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10347 ÷ 216
    10347 ÷ 65536     		x = 0.157882690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6102 ÷ 216
    6102 ÷ 65536     		y = 0.093109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157882690429688 × 2 - 1) × π
    -0.684234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14958645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093109130859375 × 2 - 1) × π
    0.81378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55657073053683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14958645} λ = -2.14958645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55657073053683))-π/2
    2×atan(12.8915328872589)-π/2
    2×1.4933810572441-π/2
    2.98676211448819-1.57079632675     		φ = 1.41596579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14958645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.162231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41596579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.128864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10347 KachelY 6102 -2.14958645 1.41596579 -123.162231 81.128864
    Oben rechts KachelX + 1 10348 KachelY 6102 -2.14949058 1.41596579 -123.156738 81.128864
    Unten links KachelX 10347 KachelY + 1 6103 -2.14958645 1.41595100 -123.162231 81.128016
    Unten rechts KachelX + 1 10348 KachelY + 1 6103 -2.14949058 1.41595100 -123.156738 81.128016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41596579-1.41595100) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dl = 94.2270900002693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41596579-1.41595100) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dr = 94.2270900002693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14958645--2.14949058) × cos(1.41596579) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154212665474534 × 6371000     		do = 94.1912100509445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14958645--2.14949058) × cos(1.41595100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15422727853493 × 6371000     		du = 94.2001355295164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41596579)-sin(1.41595100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154212665474534-0.15422727853493)×R²
    abs(-2.14949058--2.14958645)×1.46130603955186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46130603955186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46130603955186e-05×40589641000000     		ar = 8875.78413759078m²