Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10347 / 5745
↖ ↑ ↗
← N 81.426226°
W123.162231°		 ← 91.06 m → N 81.426226°
W123.156738°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
N 81.425407°
W123.162231°		 ← 91.07 m →
8 290 m²		 N 81.425407°
W123.156738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157890319824219 y=0.0876693725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157890319824219 × 216)
    floor (0.157890319824219 × 65536)
    floor (10347.5)     		tx = 10347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0876693725585938 × 216)
    floor (0.0876693725585938 × 65536)
    floor (5745.5)     		ty = 5745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10347 / 5745 ti = "16/10347/5745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10347/5745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10347 ÷ 216
    10347 ÷ 65536     		x = 0.157882690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5745 ÷ 216
    5745 ÷ 65536     		y = 0.0876617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157882690429688 × 2 - 1) × π
    -0.684234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14958645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0876617431640625 × 2 - 1) × π
    0.824676513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59079767686555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14958645} λ = -2.14958645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59079767686555))-π/2
    2×atan(13.340408695544)-π/2
    2×1.49597603450712-π/2
    2.99195206901424-1.57079632675     		φ = 1.42115574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14958645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.162231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42115574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.426226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10347 KachelY 5745 -2.14958645 1.42115574 -123.162231 81.426226
    Oben rechts KachelX + 1 10348 KachelY 5745 -2.14949058 1.42115574 -123.156738 81.426226
    Unten links KachelX 10347 KachelY + 1 5746 -2.14958645 1.42114145 -123.162231 81.425407
    Unten rechts KachelX + 1 10348 KachelY + 1 5746 -2.14949058 1.42114145 -123.156738 81.425407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42115574-1.42114145) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42115574-1.42114145) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14958645--2.14949058) × cos(1.42115574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149082745446968 × 6371000     		do = 91.057917637029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14958645--2.14949058) × cos(1.42114145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149096875737053 × 6371000     		du = 91.0665482453997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42115574)-sin(1.42114145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149082745446968-0.149096875737053)×R²
    abs(-2.14949058--2.14958645)×1.41302900853457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41302900853457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41302900853457e-05×40589641000000     		ar = 8290.4504759612m²