Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10347 / 2530
↖ ↑ ↗
← N 76.990046°
E 47.351074°		 ← 550.02 m → N 76.990046°
E 47.373047°		 →
↑
550.14 m
↓
↑
550.14 m
↓
N 76.985098°
E 47.351074°		 ← 550.22 m →
302 641 m²		 N 76.985098°
E 47.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631561279296875 y=0.154449462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631561279296875 × 214)
    floor (0.631561279296875 × 16384)
    floor (10347.5)     		tx = 10347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154449462890625 × 214)
    floor (0.154449462890625 × 16384)
    floor (2530.5)     		ty = 2530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10347 / 2530 ti = "14/10347/2530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10347/2530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10347 ÷ 214
    10347 ÷ 16384     		x = 0.63153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2530 ÷ 214
    2530 ÷ 16384     		y = 0.1544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63153076171875 × 2 - 1) × π
    0.2630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82643215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1544189453125 × 2 - 1) × π
    0.691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17134980519006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82643215} λ = 0.82643215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17134980519006))-π/2
    2×atan(8.77011400026931)-π/2
    2×1.45726305889193-π/2
    2.91452611778387-1.57079632675     		φ = 1.34372979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82643215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.351074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34372979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.990046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10347 KachelY 2530 0.82643215 1.34372979 47.351074 76.990046
    Oben rechts KachelX + 1 10348 KachelY 2530 0.82681564 1.34372979 47.373047 76.990046
    Unten links KachelX 10347 KachelY + 1 2531 0.82643215 1.34364344 47.351074 76.985098
    Unten rechts KachelX + 1 10348 KachelY + 1 2531 0.82681564 1.34364344 47.373047 76.985098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34372979-1.34364344) × R
    8.63500000001238e-05 × 6371000     		dl = 550.135850000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34372979-1.34364344) × R
    8.63500000001238e-05 × 6371000     		dr = 550.135850000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82643215-0.82681564) × cos(1.34372979) × R
    0.000383489999999931 × 0.225120332191662 × 6371000     		do = 550.017325140284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82643215-0.82681564) × cos(1.34364344) × R
    0.000383489999999931 × 0.225204464831397 × 6371000     		du = 550.222879250004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34372979)-sin(1.34364344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225120332191662-0.225204464831397)×R²
    abs(0.82681564-0.82643215)×8.41326397342523e-05×R²
    0.000383489999999931×8.41326397342523e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.41326397342523e-05×40589641000000     		ar = 302640.790212036m²