Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10346 / 5746
↖ ↑ ↗
← N 81.425407°
W123.167725°		 ← 91.08 m → N 81.425407°
W123.162231°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
N 81.424588°
W123.167725°		 ← 91.08 m →
8 298 m²		 N 81.424588°
W123.162231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157875061035156 y=0.0876846313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157875061035156 × 216)
    floor (0.157875061035156 × 65536)
    floor (10346.5)     		tx = 10346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0876846313476562 × 216)
    floor (0.0876846313476562 × 65536)
    floor (5746.5)     		ty = 5746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10346 / 5746 ti = "16/10346/5746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10346/5746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10346 ÷ 216
    10346 ÷ 65536     		x = 0.157867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5746 ÷ 216
    5746 ÷ 65536     		y = 0.087677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.68426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14968233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087677001953125 × 2 - 1) × π
    0.82464599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59070180306631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14968233} λ = -2.14968233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59070180306631))-π/2
    2×atan(13.3391297611881)-π/2
    2×1.49596888760385-π/2
    2.99193777520771-1.57079632675     		φ = 1.42114145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14968233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42114145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.425407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10346 KachelY 5746 -2.14968233 1.42114145 -123.167725 81.425407
    Oben rechts KachelX + 1 10347 KachelY 5746 -2.14958645 1.42114145 -123.162231 81.425407
    Unten links KachelX 10346 KachelY + 1 5747 -2.14968233 1.42112715 -123.167725 81.424588
    Unten rechts KachelX + 1 10347 KachelY + 1 5747 -2.14958645 1.42112715 -123.162231 81.424588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42114145-1.42112715) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dl = 91.1052999994368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42114145-1.42112715) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dr = 91.1052999994368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14968233--2.14958645) × cos(1.42114145) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149096875737053 × 6371000     		do = 91.0760472072951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14968233--2.14958645) × cos(1.42112715) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149111015884897 × 6371000     		du = 91.0846847375329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42114145)-sin(1.42112715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149096875737053-0.149111015884897)×R²
    abs(-2.14958645--2.14968233)×1.41401478437331e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41401478437331e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41401478437331e-05×40589641000000     		ar = 8297.9040659825m²