Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10345 / 2037
↖ ↑ ↗
← N 79.216649°
E 47.307129°		 ← 457.12 m → N 79.216649°
E 47.329101°		 →
↑
457.18 m
↓
↑
457.18 m
↓
N 79.212538°
E 47.307129°		 ← 457.29 m →
209 025 m²		 N 79.212538°
E 47.329101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631439208984375 y=0.124359130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631439208984375 × 214)
    floor (0.631439208984375 × 16384)
    floor (10345.5)     		tx = 10345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124359130859375 × 214)
    floor (0.124359130859375 × 16384)
    floor (2037.5)     		ty = 2037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10345 / 2037 ti = "14/10345/2037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10345/2037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10345 ÷ 214
    10345 ÷ 16384     		x = 0.63140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2037 ÷ 214
    2037 ÷ 16384     		y = 0.12432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63140869140625 × 2 - 1) × π
    0.2628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82566516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12432861328125 × 2 - 1) × π
    0.7513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36041293729156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82566516} λ = 0.82566516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36041293729156))-π/2
    2×atan(10.5953257543357)-π/2
    2×1.47669384049473-π/2
    2.95338768098946-1.57079632675     		φ = 1.38259135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82566516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.307129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38259135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.216649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10345 KachelY 2037 0.82566516 1.38259135 47.307129 79.216649
    Oben rechts KachelX + 1 10346 KachelY 2037 0.82604865 1.38259135 47.329101 79.216649
    Unten links KachelX 10345 KachelY + 1 2038 0.82566516 1.38251959 47.307129 79.212538
    Unten rechts KachelX + 1 10346 KachelY + 1 2038 0.82604865 1.38251959 47.329101 79.212538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38259135-1.38251959) × R
    7.17599999999763e-05 × 6371000     		dl = 457.182959999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38259135-1.38251959) × R
    7.17599999999763e-05 × 6371000     		dr = 457.182959999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82566516-0.82604865) × cos(1.38259135) × R
    0.000383490000000042 × 0.187095871271742 × 6371000     		do = 457.115399839107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82566516-0.82604865) × cos(1.38251959) × R
    0.000383490000000042 × 0.187166363627405 × 6371000     		du = 457.287627805043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38259135)-sin(1.38251959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187095871271742-0.187166363627405)×R²
    abs(0.82604865-0.82566516)×7.04923556625048e-05×R²
    0.000383490000000042×7.04923556625048e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.04923556625048e-05×40589641000000     		ar = 209024.741494457m²