Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103430 / 98329
↖ ↑ ↗
← S 66.540611°
E104.078979°		 ← 121.59 m → S 66.540611°
E104.081726°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
S 66.541704°
E104.078979°		 ← 121.58 m →
14 788 m²		 S 66.541704°
E104.081726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789112091064453 y=0.750194549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789112091064453 × 217)
    floor (0.789112091064453 × 131072)
    floor (103430.5)     		tx = 103430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750194549560547 × 217)
    floor (0.750194549560547 × 131072)
    floor (98329.5)     		ty = 98329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103430 / 98329 ti = "17/103430/98329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103430/98329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103430 ÷ 217
    103430 ÷ 131072     		x = 0.789108276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98329 ÷ 217
    98329 ÷ 131072     		y = 0.750190734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789108276367188 × 2 - 1) × π
    0.578216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.81652087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750190734863281 × 2 - 1) × π
    -0.500381469726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.5719947492405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81652087} λ = 1.81652087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5719947492405))-π/2
    2×atan(0.207630598020889)-π/2
    2×0.204721791382673-π/2
    0.409443582765346-1.57079632675     		φ = -1.16135274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81652087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.078979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16135274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.540611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103430 KachelY 98329 1.81652087 -1.16135274 104.078979 -66.540611
    Oben rechts KachelX + 1 103431 KachelY 98329 1.81656881 -1.16135274 104.081726 -66.540611
    Unten links KachelX 103430 KachelY + 1 98330 1.81652087 -1.16137183 104.078979 -66.541704
    Unten rechts KachelX + 1 103431 KachelY + 1 98330 1.81656881 -1.16137183 104.081726 -66.541704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16135274--1.16137183) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dl = 121.622389999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16135274--1.16137183) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dr = 121.622389999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81652087-1.81656881) × cos(-1.16135274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398098968170407 × 6371000     		do = 121.589671946603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81652087-1.81656881) × cos(-1.16137183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398081456030072 × 6371000     		du = 121.584323288183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16135274)-sin(-1.16137183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398098968170407-0.398081456030072)×R²
    abs(1.81656881-1.81652087)×1.75121403348522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75121403348522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75121403348522e-05×40589641000000     		ar = 14787.7012434135m²