Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103425 / 98475
↖ ↑ ↗
← S 66.699738°
E104.065247°		 ← 120.81 m → S 66.699738°
E104.067993°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
S 66.700824°
E104.065247°		 ← 120.81 m →
14 593 m²		 S 66.700824°
E104.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789073944091797 y=0.751308441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789073944091797 × 217)
    floor (0.789073944091797 × 131072)
    floor (103425.5)     		tx = 103425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751308441162109 × 217)
    floor (0.751308441162109 × 131072)
    floor (98475.5)     		ty = 98475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103425 / 98475 ti = "17/103425/98475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103425/98475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103425 ÷ 217
    103425 ÷ 131072     		x = 0.789070129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98475 ÷ 217
    98475 ÷ 131072     		y = 0.751304626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789070129394531 × 2 - 1) × π
    0.578140258789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.81628119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751304626464844 × 2 - 1) × π
    -0.502609252929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57899353658503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81628119} λ = 1.81628119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57899353658503))-π/2
    2×atan(0.206182508963784)-π/2
    2×0.203333150683678-π/2
    0.406666301367355-1.57079632675     		φ = -1.16413003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81628119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.065247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16413003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.699738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103425 KachelY 98475 1.81628119 -1.16413003 104.065247 -66.699738
    Oben rechts KachelX + 1 103426 KachelY 98475 1.81632913 -1.16413003 104.067993 -66.699738
    Unten links KachelX 103425 KachelY + 1 98476 1.81628119 -1.16414899 104.065247 -66.700824
    Unten rechts KachelX + 1 103426 KachelY + 1 98476 1.81632913 -1.16414899 104.067993 -66.700824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16413003--1.16414899) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16413003--1.16414899) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81628119-1.81632913) × cos(-1.16413003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395549710035363 × 6371000     		do = 120.811062894257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81628119-1.81632913) × cos(-1.16414899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395532296255234 × 6371000     		du = 120.805744277575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16413003)-sin(-1.16414899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395549710035363-0.395532296255234)×R²
    abs(1.81632913-1.81628119)×1.74137801294272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74137801294272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74137801294272e-05×40589641000000     		ar = 14592.9496325128m²