Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103423 / 99035
↖ ↑ ↗
← S 67.300677°
E104.059754°		 ← 117.84 m → S 67.300677°
E104.062500°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
S 67.301737°
E104.059754°		 ← 117.83 m →
13 888 m²		 S 67.301737°
E104.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789058685302734 y=0.755580902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789058685302734 × 217)
    floor (0.789058685302734 × 131072)
    floor (103423.5)     		tx = 103423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755580902099609 × 217)
    floor (0.755580902099609 × 131072)
    floor (99035.5)     		ty = 99035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103423 / 99035 ti = "17/103423/99035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103423/99035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103423 ÷ 217
    103423 ÷ 131072     		x = 0.789054870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99035 ÷ 217
    99035 ÷ 131072     		y = 0.755577087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789054870605469 × 2 - 1) × π
    0.578109741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.81618532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755577087402344 × 2 - 1) × π
    -0.511154174804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.60583820037226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81618532} λ = 1.81618532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60583820037226))-π/2
    2×atan(0.200721239761288)-π/2
    2×0.198088963334172-π/2
    0.396177926668343-1.57079632675     		φ = -1.17461840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81618532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.059754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17461840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.300677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103423 KachelY 99035 1.81618532 -1.17461840 104.059754 -67.300677
    Oben rechts KachelX + 1 103424 KachelY 99035 1.81623325 -1.17461840 104.062500 -67.300677
    Unten links KachelX 103423 KachelY + 1 99036 1.81618532 -1.17463690 104.059754 -67.301737
    Unten rechts KachelX + 1 103424 KachelY + 1 99036 1.81623325 -1.17463690 104.062500 -67.301737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17461840--1.17463690) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dl = 117.863500000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17461840--1.17463690) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dr = 117.863500000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81618532-1.81623325) × cos(-1.17461840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385895143978714 × 6371000     		do = 117.837724532555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81618532-1.81623325) × cos(-1.17463690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385878076873686 × 6371000     		du = 117.832512886717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17461840)-sin(-1.17463690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385895143978714-0.385878076873686)×R²
    abs(1.81623325-1.81618532)×1.70671050282456e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70671050282456e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70671050282456e-05×40589641000000     		ar = 13888.4595146509m²