Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10342 / 5735
↖ ↑ ↗
← N 81.434412°
W123.189697°		 ← 90.97 m → N 81.434412°
W123.184204°		 →
↑
90.98 m
↓
↑
90.98 m
↓
N 81.433594°
W123.189697°		 ← 90.98 m →
8 277 m²		 N 81.433594°
W123.184204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157814025878906 y=0.0875167846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157814025878906 × 216)
    floor (0.157814025878906 × 65536)
    floor (10342.5)     		tx = 10342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0875167846679688 × 216)
    floor (0.0875167846679688 × 65536)
    floor (5735.5)     		ty = 5735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10342 / 5735 ti = "16/10342/5735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10342/5735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10342 ÷ 216
    10342 ÷ 65536     		x = 0.157806396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5735 ÷ 216
    5735 ÷ 65536     		y = 0.0875091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.68438720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15006582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0875091552734375 × 2 - 1) × π
    0.824981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59175641485796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15006582} λ = -2.15006582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59175641485796))-π/2
    2×atan(13.3532047852631)-π/2
    2×1.49604746628699-π/2
    2.99209493257399-1.57079632675     		φ = 1.42129861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15006582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.189697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42129861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.434412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10342 KachelY 5735 -2.15006582 1.42129861 -123.189697 81.434412
    Oben rechts KachelX + 1 10343 KachelY 5735 -2.14996995 1.42129861 -123.184204 81.434412
    Unten links KachelX 10342 KachelY + 1 5736 -2.15006582 1.42128433 -123.189697 81.433594
    Unten rechts KachelX + 1 10343 KachelY + 1 5736 -2.14996995 1.42128433 -123.184204 81.433594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42129861-1.42128433) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dl = 90.9778800002112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42129861-1.42128433) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dr = 90.9778800002112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15006582--2.14996995) × cos(1.42129861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148941470537588 × 6371000     		do = 90.9716286501722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15006582--2.14996995) × cos(1.42128433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148955591243474 × 6371000     		du = 90.9802534046311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42129861)-sin(1.42128433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148941470537588-0.148955591243474)×R²
    abs(-2.14996995--2.15006582)×1.41207058859394e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41207058859394e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41207058859394e-05×40589641000000     		ar = 8276.79824565713m²