Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10341 / 6123
↖ ↑ ↗
← N 81.111056°
W123.195191°		 ← 94.39 m → N 81.111056°
W123.189697°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
N 81.110208°
W123.195191°		 ← 94.40 m →
8 906 m²		 N 81.110208°
W123.189697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157798767089844 y=0.0934371948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157798767089844 × 216)
    floor (0.157798767089844 × 65536)
    floor (10341.5)     		tx = 10341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0934371948242188 × 216)
    floor (0.0934371948242188 × 65536)
    floor (6123.5)     		ty = 6123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10341 / 6123 ti = "16/10341/6123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10341/6123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10341 ÷ 216
    10341 ÷ 65536     		x = 0.157791137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6123 ÷ 216
    6123 ÷ 65536     		y = 0.0934295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157791137695312 × 2 - 1) × π
    -0.684417724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15016170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0934295654296875 × 2 - 1) × π
    0.813140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55455738075279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15016170} λ = -2.15016170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55455738075279))-π/2
    2×atan(12.8656038331909)-π/2
    2×1.4932256607147-π/2
    2.98645132142941-1.57079632675     		φ = 1.41565499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15016170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.195191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41565499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.111056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10341 KachelY 6123 -2.15016170 1.41565499 -123.195191 81.111056
    Oben rechts KachelX + 1 10342 KachelY 6123 -2.15006582 1.41565499 -123.189697 81.111056
    Unten links KachelX 10341 KachelY + 1 6124 -2.15016170 1.41564018 -123.195191 81.110208
    Unten rechts KachelX + 1 10342 KachelY + 1 6124 -2.15006582 1.41564018 -123.189697 81.110208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41565499-1.41564018) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dl = 94.3545099994949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41565499-1.41564018) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dr = 94.3545099994949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15016170--2.15006582) × cos(1.41565499) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154519740131804 × 6371000     		do = 94.3886119486658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15016170--2.15006582) × cos(1.41564018) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154534372242334 × 6371000     		du = 94.3975499950386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41565499)-sin(1.41564018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154519740131804-0.154534372242334)×R²
    abs(-2.15006582--2.15016170)×1.46321105300162e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46321105300162e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46321105300162e-05×40589641000000     		ar = 8906.41290263183m²