Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103389 / 98399
↖ ↑ ↗
← S 66.617032°
E103.966370°		 ← 121.22 m → S 66.617032°
E103.969116°		 →
↑
121.24 m
↓
↑
121.24 m
↓
S 66.618122°
E103.966370°		 ← 121.21 m →
14 696 m²		 S 66.618122°
E103.969116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788799285888672 y=0.750728607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788799285888672 × 217)
    floor (0.788799285888672 × 131072)
    floor (103389.5)     		tx = 103389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750728607177734 × 217)
    floor (0.750728607177734 × 131072)
    floor (98399.5)     		ty = 98399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103389 / 98399 ti = "17/103389/98399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103389/98399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103389 ÷ 217
    103389 ÷ 131072     		x = 0.788795471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98399 ÷ 217
    98399 ÷ 131072     		y = 0.750724792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788795471191406 × 2 - 1) × π
    0.577590942382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.81455546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750724792480469 × 2 - 1) × π
    -0.501449584960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.57535033221391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81455546} λ = 1.81455546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57535033221391))-π/2
    2×atan(0.206935043968737)-π/2
    2×0.204054891485901-π/2
    0.408109782971803-1.57079632675     		φ = -1.16268654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81455546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.966370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16268654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.617032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103389 KachelY 98399 1.81455546 -1.16268654 103.966370 -66.617032
    Oben rechts KachelX + 1 103390 KachelY 98399 1.81460340 -1.16268654 103.969116 -66.617032
    Unten links KachelX 103389 KachelY + 1 98400 1.81455546 -1.16270557 103.966370 -66.618122
    Unten rechts KachelX + 1 103390 KachelY + 1 98400 1.81460340 -1.16270557 103.969116 -66.618122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16268654--1.16270557) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dl = 121.240130000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16268654--1.16270557) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dr = 121.240130000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81455546-1.81460340) × cos(-1.16268654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396875063030154 × 6371000     		do = 121.215859813452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81455546-1.81460340) × cos(-1.16270557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396857595841942 × 6371000     		du = 121.210524884567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16268654)-sin(-1.16270557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396875063030154-0.396857595841942)×R²
    abs(1.81460340-1.81455546)×1.74671882117727e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74671882117727e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74671882117727e-05×40589641000000     		ar = 14695.903198533m²