Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103379 / 98320
↖ ↑ ↗
← S 66.530768°
E103.938904°		 ← 121.64 m → S 66.530768°
E103.941650°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
S 66.531862°
E103.938904°		 ← 121.63 m →
14 794 m²		 S 66.531862°
E103.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788722991943359 y=0.750125885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788722991943359 × 217)
    floor (0.788722991943359 × 131072)
    floor (103379.5)     		tx = 103379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750125885009766 × 217)
    floor (0.750125885009766 × 131072)
    floor (98320.5)     		ty = 98320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103379 / 98320 ti = "17/103379/98320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103379/98320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103379 ÷ 217
    103379 ÷ 131072     		x = 0.788719177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98320 ÷ 217
    98320 ÷ 131072     		y = 0.7501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788719177246094 × 2 - 1) × π
    0.577438354492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.81407609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57156331714392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81407609} λ = 1.81407609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57156331714392))-π/2
    2×atan(0.207720195851407)-π/2
    2×0.204807684713618-π/2
    0.409615369427237-1.57079632675     		φ = -1.16118096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81407609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.938904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16118096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.530768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103379 KachelY 98320 1.81407609 -1.16118096 103.938904 -66.530768
    Oben rechts KachelX + 1 103380 KachelY 98320 1.81412403 -1.16118096 103.941650 -66.530768
    Unten links KachelX 103379 KachelY + 1 98321 1.81407609 -1.16120005 103.938904 -66.531862
    Unten rechts KachelX + 1 103380 KachelY + 1 98321 1.81412403 -1.16120005 103.941650 -66.531862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16118096--1.16120005) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dl = 121.622389999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16118096--1.16120005) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dr = 121.622389999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81407609-1.81412403) × cos(-1.16118096) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398256543385904 × 6371000     		do = 121.637799473965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81407609-1.81412403) × cos(-1.16120005) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.398239032551276 × 6371000     		du = 121.632451214341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16118096)-sin(-1.16120005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398256543385904-0.398239032551276)×R²
    abs(1.81412403-1.81407609)×1.75108346271435e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.75108346271435e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.75108346271435e-05×40589641000000     		ar = 14793.554652743m²