Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103374 / 99006
↖ ↑ ↗
← S 67.269920°
E103.925171°		 ← 117.99 m → S 67.269920°
E103.927917°		 →
↑
117.99 m
↓
↑
117.99 m
↓
S 67.270982°
E103.925171°		 ← 117.98 m →
13 921 m²		 S 67.270982°
E103.927917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788684844970703 y=0.755359649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788684844970703 × 217)
    floor (0.788684844970703 × 131072)
    floor (103374.5)     		tx = 103374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755359649658203 × 217)
    floor (0.755359649658203 × 131072)
    floor (99006.5)     		ty = 99006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103374 / 99006 ti = "17/103374/99006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103374/99006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103374 ÷ 217
    103374 ÷ 131072     		x = 0.788681030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99006 ÷ 217
    99006 ÷ 131072     		y = 0.755355834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788681030273438 × 2 - 1) × π
    0.577362060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81383641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755355834960938 × 2 - 1) × π
    -0.510711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60444803028328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81383641} λ = 1.81383641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60444803028328))-π/2
    2×atan(0.201000470469147)-π/2
    2×0.198357365339349-π/2
    0.396714730678698-1.57079632675     		φ = -1.17408160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81383641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.925171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17408160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.269920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103374 KachelY 99006 1.81383641 -1.17408160 103.925171 -67.269920
    Oben rechts KachelX + 1 103375 KachelY 99006 1.81388434 -1.17408160 103.927917 -67.269920
    Unten links KachelX 103374 KachelY + 1 99007 1.81383641 -1.17410012 103.925171 -67.270982
    Unten rechts KachelX + 1 103375 KachelY + 1 99007 1.81388434 -1.17410012 103.927917 -67.270982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17408160--1.17410012) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dl = 117.990920000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17408160--1.17410012) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dr = 117.990920000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81383641-1.81388434) × cos(-1.17408160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386390309249856 × 6371000     		do = 117.988929204936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81383641-1.81388434) × cos(-1.17410012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386373227532599 × 6371000     		du = 117.983713097078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17408160)-sin(-1.17410012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386390309249856-0.386373227532599)×R²
    abs(1.81388434-1.81383641)×1.70817172569504e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70817172569504e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70817172569504e-05×40589641000000     		ar = 13921.3145804425m²