Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103371 / 99526
↖ ↑ ↗
← S 67.815468°
E103.916931°		 ← 115.30 m → S 67.815468°
E103.919678°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
S 67.816505°
E103.916931°		 ← 115.30 m →
13 296 m²		 S 67.816505°
E103.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788661956787109 y=0.759326934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788661956787109 × 217)
    floor (0.788661956787109 × 131072)
    floor (103371.5)     		tx = 103371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759326934814453 × 217)
    floor (0.759326934814453 × 131072)
    floor (99526.5)     		ty = 99526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103371 / 99526 ti = "17/103371/99526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103371/99526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103371 ÷ 217
    103371 ÷ 131072     		x = 0.788658142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99526 ÷ 217
    99526 ÷ 131072     		y = 0.759323120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788658142089844 × 2 - 1) × π
    0.577316284179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.81369260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759323120117188 × 2 - 1) × π
    -0.518646240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62937521808571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81369260} λ = 1.81369260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62937521808571))-π/2
    2×atan(0.196052025630058)-π/2
    2×0.193596564615055-π/2
    0.38719312923011-1.57079632675     		φ = -1.18360320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81369260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.916931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18360320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.815468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103371 KachelY 99526 1.81369260 -1.18360320 103.916931 -67.815468
    Oben rechts KachelX + 1 103372 KachelY 99526 1.81374053 -1.18360320 103.919678 -67.815468
    Unten links KachelX 103371 KachelY + 1 99527 1.81369260 -1.18362130 103.916931 -67.816505
    Unten rechts KachelX + 1 103372 KachelY + 1 99527 1.81374053 -1.18362130 103.919678 -67.816505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18360320--1.18362130) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dl = 115.315099999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18360320--1.18362130) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dr = 115.315099999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81369260-1.81374053) × cos(-1.18360320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377590818411504 × 6371000     		do = 115.301898819569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81369260-1.81374053) × cos(-1.18362130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377574058246396 × 6371000     		du = 115.296780901528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18360320)-sin(-1.18362130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377590818411504-0.377574058246396)×R²
    abs(1.81374053-1.81369260)×1.67601651078764e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67601651078764e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67601651078764e-05×40589641000000     		ar = 13295.7549061975m²