Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103356 / 99005
↖ ↑ ↗
← S 67.268859°
E103.875732°		 ← 118.02 m → S 67.268859°
E103.878479°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
S 67.269920°
E103.875732°		 ← 118.01 m →
13 932 m²		 S 67.269920°
E103.878479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788547515869141 y=0.755352020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788547515869141 × 217)
    floor (0.788547515869141 × 131072)
    floor (103356.5)     		tx = 103356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755352020263672 × 217)
    floor (0.755352020263672 × 131072)
    floor (99005.5)     		ty = 99005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103356 / 99005 ti = "17/103356/99005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103356/99005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103356 ÷ 217
    103356 ÷ 131072     		x = 0.788543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99005 ÷ 217
    99005 ÷ 131072     		y = 0.755348205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788543701171875 × 2 - 1) × π
    0.57708740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.81297354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755348205566406 × 2 - 1) × π
    -0.510696411132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.60440009338366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81297354} λ = 1.81297354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60440009338366))-π/2
    2×atan(0.201010106039471)-π/2
    2×0.198366626720908-π/2
    0.396733253441817-1.57079632675     		φ = -1.17406307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81297354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.875732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17406307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.268859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103356 KachelY 99005 1.81297354 -1.17406307 103.875732 -67.268859
    Oben rechts KachelX + 1 103357 KachelY 99005 1.81302148 -1.17406307 103.878479 -67.268859
    Unten links KachelX 103356 KachelY + 1 99006 1.81297354 -1.17408160 103.875732 -67.269920
    Unten rechts KachelX + 1 103357 KachelY + 1 99006 1.81302148 -1.17408160 103.878479 -67.269920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17406307--1.17408160) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17406307--1.17408160) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81297354-1.81302148) × cos(-1.17406307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386407400057867 × 6371000     		do = 118.018766104073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81297354-1.81302148) × cos(-1.17408160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386390309249856 × 6371000     		du = 118.013546131389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17406307)-sin(-1.17408160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386407400057867-0.386390309249856)×R²
    abs(1.81302148-1.81297354)×1.70908080108223e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70908080108223e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70908080108223e-05×40589641000000     		ar = 13932.3536448932m²