Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103353 / 97936
↖ ↑ ↗
← S 66.107170°
E103.867493°		 ← 123.71 m → S 66.107170°
E103.870239°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
S 66.108282°
E103.867493°		 ← 123.70 m →
15 297 m²		 S 66.108282°
E103.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788524627685547 y=0.747196197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788524627685547 × 217)
    floor (0.788524627685547 × 131072)
    floor (103353.5)     		tx = 103353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747196197509766 × 217)
    floor (0.747196197509766 × 131072)
    floor (97936.5)     		ty = 97936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103353 / 97936 ti = "17/103353/97936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103353/97936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103353 ÷ 217
    103353 ÷ 131072     		x = 0.788520812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97936 ÷ 217
    97936 ÷ 131072     		y = 0.7471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788520812988281 × 2 - 1) × π
    0.577041625976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.81282973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81282973} λ = 1.81282973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55315554768982))-π/2
    2×atan(0.21157927084023)-π/2
    2×0.208504279420741-π/2
    0.417008558841482-1.57079632675     		φ = -1.15378777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81282973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.867493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15378777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.107170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103353 KachelY 97936 1.81282973 -1.15378777 103.867493 -66.107170
    Oben rechts KachelX + 1 103354 KachelY 97936 1.81287767 -1.15378777 103.870239 -66.107170
    Unten links KachelX 103353 KachelY + 1 97937 1.81282973 -1.15380718 103.867493 -66.108282
    Unten rechts KachelX + 1 103354 KachelY + 1 97937 1.81287767 -1.15380718 103.870239 -66.108282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15378777--1.15380718) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dl = 123.66110999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15378777--1.15380718) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dr = 123.66110999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81282973-1.81287767) × cos(-1.15378777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405027178959019 × 6371000     		do = 123.70572585359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81282973-1.81287767) × cos(-1.15380718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405009432229559 × 6371000     		du = 123.700305545612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15378777)-sin(-1.15380718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405027178959019-0.405009432229559)×R²
    abs(1.81287767-1.81282973)×1.77467294595335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77467294595335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77467294595335e-05×40589641000000     		ar = 15297.2522322512m²