Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10335 / 14370
↖ ↑ ↗
← N 70.550521°
W123.228150°		 ← 203.40 m → N 70.550521°
W123.222656°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
N 70.548692°
W123.228150°		 ← 203.42 m →
41 378 m²		 N 70.548692°
W123.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157707214355469 y=0.219276428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157707214355469 × 216)
    floor (0.157707214355469 × 65536)
    floor (10335.5)     		tx = 10335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219276428222656 × 216)
    floor (0.219276428222656 × 65536)
    floor (14370.5)     		ty = 14370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10335 / 14370 ti = "16/10335/14370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10335/14370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10335 ÷ 216
    10335 ÷ 65536     		x = 0.157699584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14370 ÷ 216
    14370 ÷ 65536     		y = 0.219268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157699584960938 × 2 - 1) × π
    -0.684600830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15073694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219268798828125 × 2 - 1) × π
    0.56146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76388615841959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15073694} λ = -2.15073694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76388615841959))-π/2
    2×atan(5.83506939420667)-π/2
    2×1.40106760090547-π/2
    2.80213520181094-1.57079632675     		φ = 1.23133888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15073694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.228150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23133888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.550521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10335 KachelY 14370 -2.15073694 1.23133888 -123.228150 70.550521
    Oben rechts KachelX + 1 10336 KachelY 14370 -2.15064106 1.23133888 -123.222656 70.550521
    Unten links KachelX 10335 KachelY + 1 14371 -2.15073694 1.23130695 -123.228150 70.548692
    Unten rechts KachelX + 1 10336 KachelY + 1 14371 -2.15064106 1.23130695 -123.222656 70.548692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23133888-1.23130695) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23133888-1.23130695) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15073694--2.15064106) × cos(1.23133888) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332975548517207 × 6371000     		do = 203.398606615415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15073694--2.15064106) × cos(1.23130695) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333005656276742 × 6371000     		du = 203.416997984886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23133888)-sin(1.23130695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332975548517207-0.333005656276742)×R²
    abs(-2.15064106--2.15073694)×3.01077595343258e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.01077595343258e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.01077595343258e-05×40589641000000     		ar = 41378.441696633m²