Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103340 / 99508
↖ ↑ ↗
← S 67.796793°
E103.831787°		 ← 115.42 m → S 67.796793°
E103.834534°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.797831°
E103.831787°		 ← 115.41 m →
13 317 m²		 S 67.797831°
E103.834534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788425445556641 y=0.759189605712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788425445556641 × 217)
    floor (0.788425445556641 × 131072)
    floor (103340.5)     		tx = 103340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759189605712891 × 217)
    floor (0.759189605712891 × 131072)
    floor (99508.5)     		ty = 99508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103340 / 99508 ti = "17/103340/99508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103340/99508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103340 ÷ 217
    103340 ÷ 131072     		x = 0.788421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99508 ÷ 217
    99508 ÷ 131072     		y = 0.759185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788421630859375 × 2 - 1) × π
    0.57684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81220655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.51837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62851235389255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81220655} λ = 1.81220655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62851235389255))-π/2
    2×atan(0.196221264907727)-π/2
    2×0.193759534508451-π/2
    0.387519069016902-1.57079632675     		φ = -1.18327726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81220655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18327726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.796793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103340 KachelY 99508 1.81220655 -1.18327726 103.831787 -67.796793
    Oben rechts KachelX + 1 103341 KachelY 99508 1.81225449 -1.18327726 103.834534 -67.796793
    Unten links KachelX 103340 KachelY + 1 99509 1.81220655 -1.18329537 103.831787 -67.797831
    Unten rechts KachelX + 1 103341 KachelY + 1 99509 1.81225449 -1.18329537 103.834534 -67.797831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18327726--1.18329537) × R
    1.81099999998491e-05 × 6371000     		dl = 115.378809999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18327726--1.18329537) × R
    1.81099999998491e-05 × 6371000     		dr = 115.378809999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81220655-1.81225449) × cos(-1.18327726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377892609843919 × 6371000     		do = 115.418130002034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81220655-1.81225449) × cos(-1.18329537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377875842648691 × 6371000     		du = 115.413008869024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18327726)-sin(-1.18329537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377892609843919-0.377875842648691)×R²
    abs(1.81225449-1.81220655)×1.67671952274739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67671952274739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67671952274739e-05×40589641000000     		ar = 13316.5110569986m²