Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10334 / 6047
↖ ↑ ↗
← N 81.175334°
W123.233642°		 ← 93.70 m → N 81.175334°
W123.228150°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 81.174491°
W123.233642°		 ← 93.71 m →
8 782 m²		 N 81.174491°
W123.228150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157691955566406 y=0.0922775268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157691955566406 × 216)
    floor (0.157691955566406 × 65536)
    floor (10334.5)     		tx = 10334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0922775268554688 × 216)
    floor (0.0922775268554688 × 65536)
    floor (6047.5)     		ty = 6047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10334 / 6047 ti = "16/10334/6047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10334/6047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10334 ÷ 216
    10334 ÷ 65536     		x = 0.157684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6047 ÷ 216
    6047 ÷ 65536     		y = 0.0922698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.68463134765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15083281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0922698974609375 × 2 - 1) × π
    0.815460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56184378949504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15083281} λ = -2.15083281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56184378949504))-π/2
    2×atan(12.9596902411809)-π/2
    2×1.49378658612787-π/2
    2.98757317225573-1.57079632675     		φ = 1.41677685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15083281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.233642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41677685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.175334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10334 KachelY 6047 -2.15083281 1.41677685 -123.233642 81.175334
    Oben rechts KachelX + 1 10335 KachelY 6047 -2.15073694 1.41677685 -123.228150 81.175334
    Unten links KachelX 10334 KachelY + 1 6048 -2.15083281 1.41676214 -123.233642 81.174491
    Unten rechts KachelX + 1 10335 KachelY + 1 6048 -2.15073694 1.41676214 -123.228150 81.174491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41677685-1.41676214) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dl = 93.7174100005376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41677685-1.41676214) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dr = 93.7174100005376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15083281--2.15073694) × cos(1.41677685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153411257001047 × 6371000     		do = 93.7017195565642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15083281--2.15073694) × cos(1.41676214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15342579285378 × 6371000     		du = 93.7105978776403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41677685)-sin(1.41676214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153411257001047-0.15342579285378)×R²
    abs(-2.15073694--2.15083281)×1.45358527333106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45358527333106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45358527333106e-05×40589641000000     		ar = 8781.89849642102m²