Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103331 / 97857
↖ ↑ ↗
← S 66.019135°
E103.807068°		 ← 124.13 m → S 66.019135°
E103.809815°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
S 66.020251°
E103.807068°		 ← 124.13 m →
15 406 m²		 S 66.020251°
E103.809815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788356781005859 y=0.746593475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788356781005859 × 217)
    floor (0.788356781005859 × 131072)
    floor (103331.5)     		tx = 103331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746593475341797 × 217)
    floor (0.746593475341797 × 131072)
    floor (97857.5)     		ty = 97857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103331 / 97857 ti = "17/103331/97857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103331/97857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103331 ÷ 217
    103331 ÷ 131072     		x = 0.788352966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97857 ÷ 217
    97857 ÷ 131072     		y = 0.746589660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788352966308594 × 2 - 1) × π
    0.576705932617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.81177512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746589660644531 × 2 - 1) × π
    -0.493179321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54936853261983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81177512} λ = 1.81177512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54936853261983))-π/2
    2×atan(0.212382043824681)-π/2
    2×0.209272530399408-π/2
    0.418545060798816-1.57079632675     		φ = -1.15225127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81177512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.807068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15225127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.019135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103331 KachelY 97857 1.81177512 -1.15225127 103.807068 -66.019135
    Oben rechts KachelX + 1 103332 KachelY 97857 1.81182306 -1.15225127 103.809815 -66.019135
    Unten links KachelX 103331 KachelY + 1 97858 1.81177512 -1.15227075 103.807068 -66.020251
    Unten rechts KachelX + 1 103332 KachelY + 1 97858 1.81182306 -1.15227075 103.809815 -66.020251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15225127--1.15227075) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15225127--1.15227075) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81177512-1.81182306) × cos(-1.15225127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406431529393148 × 6371000     		do = 124.134650624153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81177512-1.81182306) × cos(-1.15227075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406413730805441 × 6371000     		du = 124.129214477331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15225127)-sin(-1.15227075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406431529393148-0.406413730805441)×R²
    abs(1.81182306-1.81177512)×1.77985877066189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77985877066189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77985877066189e-05×40589641000000     		ar = 15405.6516840366m²