Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103323 / 97833
↖ ↑ ↗
← S 65.992329°
E103.785095°		 ← 124.24 m → S 65.992329°
E103.787842°		 →
↑
124.23 m
↓
↑
124.23 m
↓
S 65.993447°
E103.785095°		 ← 124.23 m →
15 434 m²		 S 65.993447°
E103.787842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788295745849609 y=0.746410369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788295745849609 × 217)
    floor (0.788295745849609 × 131072)
    floor (103323.5)     		tx = 103323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746410369873047 × 217)
    floor (0.746410369873047 × 131072)
    floor (97833.5)     		ty = 97833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103323 / 97833 ti = "17/103323/97833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103323/97833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103323 ÷ 217
    103323 ÷ 131072     		x = 0.788291931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97833 ÷ 217
    97833 ÷ 131072     		y = 0.746406555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788291931152344 × 2 - 1) × π
    0.576583862304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.81139163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746406555175781 × 2 - 1) × π
    -0.492813110351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.54821804702895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81139163} λ = 1.81139163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54821804702895))-π/2
    2×atan(0.212626526916033)-π/2
    2×0.2095064501261-π/2
    0.419012900252199-1.57079632675     		φ = -1.15178343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81139163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.785095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15178343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.992329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103323 KachelY 97833 1.81139163 -1.15178343 103.785095 -65.992329
    Oben rechts KachelX + 1 103324 KachelY 97833 1.81143956 -1.15178343 103.787842 -65.992329
    Unten links KachelX 103323 KachelY + 1 97834 1.81139163 -1.15180293 103.785095 -65.993447
    Unten rechts KachelX + 1 103324 KachelY + 1 97834 1.81143956 -1.15180293 103.787842 -65.993447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15178343--1.15180293) × R
    1.94999999998391e-05 × 6371000     		dl = 124.234499998975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15178343--1.15180293) × R
    1.94999999998391e-05 × 6371000     		dr = 124.234499998975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81139163-1.81143956) × cos(-1.15178343) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406858941531094 × 6371000     		do = 124.239272309662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81139163-1.81143956) × cos(-1.15180293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406841128379299 × 6371000     		du = 124.233832849469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15178343)-sin(-1.15180293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406858941531094-0.406841128379299)×R²
    abs(1.81143956-1.81139163)×1.78131517952762e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78131517952762e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78131517952762e-05×40589641000000     		ar = 15434.4659918832m²