Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103321 / 99103
↖ ↑ ↗
← S 67.372642°
E103.779602°		 ← 117.51 m → S 67.372642°
E103.782349°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
S 67.373698°
E103.779602°		 ← 117.50 m →
13 805 m²		 S 67.373698°
E103.782349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788280487060547 y=0.756099700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788280487060547 × 217)
    floor (0.788280487060547 × 131072)
    floor (103321.5)     		tx = 103321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756099700927734 × 217)
    floor (0.756099700927734 × 131072)
    floor (99103.5)     		ty = 99103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103321 / 99103 ti = "17/103321/99103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103321/99103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103321 ÷ 217
    103321 ÷ 131072     		x = 0.788276672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99103 ÷ 217
    99103 ÷ 131072     		y = 0.756095886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788276672363281 × 2 - 1) × π
    0.576553344726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.81129575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756095886230469 × 2 - 1) × π
    -0.512191772460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.60909790954642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81129575} λ = 1.81129575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60909790954642))-π/2
    2×atan(0.200068012139042)-π/2
    2×0.197460955282004-π/2
    0.394921910564008-1.57079632675     		φ = -1.17587442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81129575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.779602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17587442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.372642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103321 KachelY 99103 1.81129575 -1.17587442 103.779602 -67.372642
    Oben rechts KachelX + 1 103322 KachelY 99103 1.81134369 -1.17587442 103.782349 -67.372642
    Unten links KachelX 103321 KachelY + 1 99104 1.81129575 -1.17589286 103.779602 -67.373698
    Unten rechts KachelX + 1 103322 KachelY + 1 99104 1.81134369 -1.17589286 103.782349 -67.373698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17587442--1.17589286) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dl = 117.481240000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17587442--1.17589286) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dr = 117.481240000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81129575-1.81134369) × cos(-1.17587442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384736107874922 × 6371000     		do = 117.508310452341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81129575-1.81134369) × cos(-1.17589286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384719087198778 × 6371000     		du = 117.503111899734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17587442)-sin(-1.17589286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384736107874922-0.384719087198778)×R²
    abs(1.81134369-1.81129575)×1.70206761443414e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70206761443414e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70206761443414e-05×40589641000000     		ar = 13804.7166565316m²