Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103315 / 99106
↖ ↑ ↗
← S 67.375811°
E103.763123°		 ← 117.49 m → S 67.375811°
E103.765869°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
S 67.376868°
E103.763123°		 ← 117.49 m →
13 803 m²		 S 67.376868°
E103.765869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788234710693359 y=0.756122589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788234710693359 × 217)
    floor (0.788234710693359 × 131072)
    floor (103315.5)     		tx = 103315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756122589111328 × 217)
    floor (0.756122589111328 × 131072)
    floor (99106.5)     		ty = 99106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103315 / 99106 ti = "17/103315/99106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103315/99106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103315 ÷ 217
    103315 ÷ 131072     		x = 0.788230895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99106 ÷ 217
    99106 ÷ 131072     		y = 0.756118774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788230895996094 × 2 - 1) × π
    0.576461791992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.81100813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756118774414062 × 2 - 1) × π
    -0.512237548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60924172024529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81100813} λ = 1.81100813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60924172024529))-π/2
    2×atan(0.200039242287152)-π/2
    2×0.197433292533525-π/2
    0.394866585067051-1.57079632675     		φ = -1.17592974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81100813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.763123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17592974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.375811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103315 KachelY 99106 1.81100813 -1.17592974 103.763123 -67.375811
    Oben rechts KachelX + 1 103316 KachelY 99106 1.81105607 -1.17592974 103.765869 -67.375811
    Unten links KachelX 103315 KachelY + 1 99107 1.81100813 -1.17594818 103.763123 -67.376868
    Unten rechts KachelX + 1 103316 KachelY + 1 99107 1.81105607 -1.17594818 103.765869 -67.376868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17592974--1.17594818) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dl = 117.481240000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17592974--1.17594818) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dr = 117.481240000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81100813-1.81105607) × cos(-1.17592974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384685045454043 × 6371000     		do = 117.492714674658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81100813-1.81105607) × cos(-1.17594818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384668024385464 × 6371000     		du = 117.487516002191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17592974)-sin(-1.17594818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384685045454043-0.384668024385464)×R²
    abs(1.81105607-1.81100813)×1.70210685792593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70210685792593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70210685792593e-05×40589641000000     		ar = 13802.884438128m²