Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10331 / 1850
↖ ↑ ↗
← N 79.958930°
E 46.999512°		 ← 425.98 m → N 79.958930°
E 47.021484°		 →
↑
426.03 m
↓
↑
426.03 m
↓
N 79.955099°
E 46.999512°		 ← 426.15 m →
181 516 m²		 N 79.955099°
E 47.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630584716796875 y=0.112945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630584716796875 × 214)
    floor (0.630584716796875 × 16384)
    floor (10331.5)     		tx = 10331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112945556640625 × 214)
    floor (0.112945556640625 × 16384)
    floor (1850.5)     		ty = 1850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10331 / 1850 ti = "14/10331/1850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10331/1850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10331 ÷ 214
    10331 ÷ 16384     		x = 0.63055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1850 ÷ 214
    1850 ÷ 16384     		y = 0.1129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63055419921875 × 2 - 1) × π
    0.2611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82029623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1129150390625 × 2 - 1) × π
    0.774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43212653912317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82029623} λ = 0.82029623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43212653912317))-π/2
    2×atan(11.3830628887455)-π/2
    2×1.48317146461541-π/2
    2.96634292923082-1.57079632675     		φ = 1.39554660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82029623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.999512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39554660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.958930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10331 KachelY 1850 0.82029623 1.39554660 46.999512 79.958930
    Oben rechts KachelX + 1 10332 KachelY 1850 0.82067972 1.39554660 47.021484 79.958930
    Unten links KachelX 10331 KachelY + 1 1851 0.82029623 1.39547973 46.999512 79.955099
    Unten rechts KachelX + 1 10332 KachelY + 1 1851 0.82067972 1.39547973 47.021484 79.955099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39554660-1.39547973) × R
    6.68700000001632e-05 × 6371000     		dl = 426.02877000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39554660-1.39547973) × R
    6.68700000001632e-05 × 6371000     		dr = 426.02877000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82029623-0.82067972) × cos(1.39554660) × R
    0.000383490000000042 × 0.174354044764456 × 6371000     		do = 425.984380864888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82029623-0.82067972) × cos(1.39547973) × R
    0.000383490000000042 × 0.174419890128718 × 6371000     		du = 426.145255232706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39554660)-sin(1.39547973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174354044764456-0.174419890128718)×R²
    abs(0.82067972-0.82029623)×6.5845364261935e-05×R²
    0.000383490000000042×6.5845364261935e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.5845364261935e-05×40589641000000     		ar = 181515.870441661m²