Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1033 / 551
↖ ↑ ↗
← N 63.626745°
E  1.582031°		 ← 8 682.68 m → N 63.626745°
E  1.757813°		 →
↑
8 694.63 m
↓
↑
8 694.63 m
↓
N 63.548552°
E  1.582031°		 ← 8 706.57 m →
75 596 591 m²		 N 63.548552°
E  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504638671875 y=0.269287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504638671875 × 211)
    floor (0.504638671875 × 2048)
    floor (1033.5)     		tx = 1033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269287109375 × 211)
    floor (0.269287109375 × 2048)
    floor (551.5)     		ty = 551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1033 / 551 ti = "11/1033/551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1033/551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1033 ÷ 211
    1033 ÷ 2048     		x = 0.50439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 551 ÷ 211
    551 ÷ 2048     		y = 0.26904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26904296875 × 2 - 1) × π
    0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02761165} λ = 0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45114582529834))-π/2
    2×atan(4.26800209925401)-π/2
    2×1.34064625657654-π/2
    2.68129251315309-1.57079632675     		φ = 1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1033 KachelY 551 0.02761165 1.11049619 1.582031 63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 1034 KachelY 551 0.03067962 1.11049619 1.757813 63.626745
    Unten links KachelX 1033 KachelY + 1 552 0.02761165 1.10913147 1.582031 63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 1034 KachelY + 1 552 0.03067962 1.10913147 1.757813 63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11049619-1.10913147) × R
    0.00136472000000021 × 6371000     		dl = 8694.63112000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11049619-1.10913147) × R
    0.00136472000000021 × 6371000     		dr = 8694.63112000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02761165-0.03067962) × cos(1.11049619) × R
    0.00306797 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 8682.68235460515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02761165-0.03067962) × cos(1.10913147) × R
    0.00306797 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 8706.57278782557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11049619)-sin(1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.445439290109431)×R²
    abs(0.03067962-0.02761165)×0.00122226481917082×R²
    0.00306797×0.00122226481917082×6371000²
    0.00306797×0.00122226481917082×40589641000000     		ar = 75596591.1904877m²