Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1033 / 1512
↖ ↑ ↗
← S 64.774125°
E  1.582031°		 ← 8 330.28 m → S 64.774125°
E  1.757813°		 →
↑
8 318.68 m
↓
↑
8 318.68 m
↓
S 64.848937°
E  1.582031°		 ← 8 307.19 m →
69 200 902 m²		 S 64.848937°
E  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504638671875 y=0.738525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504638671875 × 211)
    floor (0.504638671875 × 2048)
    floor (1033.5)     		tx = 1033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738525390625 × 211)
    floor (0.738525390625 × 2048)
    floor (1512.5)     		ty = 1512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1033 / 1512 ti = "11/1033/1512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1033/1512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1033 ÷ 211
    1033 ÷ 2048     		x = 0.50439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1512 ÷ 211
    1512 ÷ 2048     		y = 0.73828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73828125 × 2 - 1) × π
    -0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02761165} λ = 0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49716524893359))-π/2
    2×atan(0.223763575971781)-π/2
    2×0.220137285001563-π/2
    0.440274570003125-1.57079632675     		φ = -1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1033 KachelY 1512 0.02761165 -1.13052176 1.582031 -64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 1034 KachelY 1512 0.03067962 -1.13052176 1.757813 -64.774125
    Unten links KachelX 1033 KachelY + 1 1513 0.02761165 -1.13182747 1.582031 -64.848937
    Unten rechts KachelX + 1 1034 KachelY + 1 1513 0.03067962 -1.13182747 1.757813 -64.848937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13052176--1.13182747) × R
    0.00130571000000002 × 6371000     		dl = 8318.6784100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13052176--1.13182747) × R
    0.00130571000000002 × 6371000     		dr = 8318.6784100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02761165-0.03067962) × cos(-1.13052176) × R
    0.00306797 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 8330.28369883587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02761165-0.03067962) × cos(-1.13182747) × R
    0.00306797 × 0.425006310260096 × 6371000     		du = 8307.1890103265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13052176)-sin(-1.13182747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.425006310260096)×R²
    abs(0.03067962-0.02761165)×0.00118155351199672×R²
    0.00306797×0.00118155351199672×6371000²
    0.00306797×0.00118155351199672×40589641000000     		ar = 69200902.3429285m²