Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10329 / 1847
↖ ↑ ↗
← N 79.970417°
E 46.955567°		 ← 425.50 m → N 79.970417°
E 46.977539°		 →
↑
425.58 m
↓
↑
425.58 m
↓
N 79.966590°
E 46.955567°		 ← 425.66 m →
181 121 m²		 N 79.966590°
E 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630462646484375 y=0.112762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630462646484375 × 214)
    floor (0.630462646484375 × 16384)
    floor (10329.5)     		tx = 10329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112762451171875 × 214)
    floor (0.112762451171875 × 16384)
    floor (1847.5)     		ty = 1847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10329 / 1847 ti = "14/10329/1847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10329/1847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10329 ÷ 214
    10329 ÷ 16384     		x = 0.63043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1847 ÷ 214
    1847 ÷ 16384     		y = 0.11273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63043212890625 × 2 - 1) × π
    0.2608642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81952924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11273193359375 × 2 - 1) × π
    0.7745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43327702471405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81952924} λ = 0.81952924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43327702471405))-π/2
    2×atan(11.3961664748773)-π/2
    2×1.48327170373212-π/2
    2.96654340746423-1.57079632675     		φ = 1.39574708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81952924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.955567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39574708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.970417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10329 KachelY 1847 0.81952924 1.39574708 46.955567 79.970417
    Oben rechts KachelX + 1 10330 KachelY 1847 0.81991273 1.39574708 46.977539 79.970417
    Unten links KachelX 10329 KachelY + 1 1848 0.81952924 1.39568028 46.955567 79.966590
    Unten rechts KachelX + 1 10330 KachelY + 1 1848 0.81991273 1.39568028 46.977539 79.966590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39574708-1.39568028) × R
    6.67999999999225e-05 × 6371000     		dl = 425.582799999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39574708-1.39568028) × R
    6.67999999999225e-05 × 6371000     		dr = 425.582799999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81952924-0.81991273) × cos(1.39574708) × R
    0.000383489999999931 × 0.174156632008339 × 6371000     		do = 425.502059099286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81952924-0.81991273) × cos(1.39568028) × R
    0.000383489999999931 × 0.174222410779684 × 6371000     		du = 425.662770766303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39574708)-sin(1.39568028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174156632008339-0.174222410779684)×R²
    abs(0.81991273-0.81952924)×6.57787713446711e-05×R²
    0.000383489999999931×6.57787713446711e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.57787713446711e-05×40589641000000     		ar = 181120.55584429m²