Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103289 / 99721
↖ ↑ ↗
← S 68.016826°
E103.691711°		 ← 114.33 m → S 68.016826°
E103.694458°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
S 68.017854°
E103.691711°		 ← 114.33 m →
13 075 m²		 S 68.017854°
E103.694458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788036346435547 y=0.760814666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788036346435547 × 217)
    floor (0.788036346435547 × 131072)
    floor (103289.5)     		tx = 103289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760814666748047 × 217)
    floor (0.760814666748047 × 131072)
    floor (99721.5)     		ty = 99721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103289 / 99721 ti = "17/103289/99721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103289/99721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103289 ÷ 217
    103289 ÷ 131072     		x = 0.788032531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99721 ÷ 217
    99721 ÷ 131072     		y = 0.760810852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788032531738281 × 2 - 1) × π
    0.576065063476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.80976177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760810852050781 × 2 - 1) × π
    -0.521621704101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.63872291351162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80976177} λ = 1.80976177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63872291351162))-π/2
    2×atan(0.194227929835143)-π/2
    2×0.191839382063727-π/2
    0.383678764127453-1.57079632675     		φ = -1.18711756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80976177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.691711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18711756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.016826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103289 KachelY 99721 1.80976177 -1.18711756 103.691711 -68.016826
    Oben rechts KachelX + 1 103290 KachelY 99721 1.80980971 -1.18711756 103.694458 -68.016826
    Unten links KachelX 103289 KachelY + 1 99722 1.80976177 -1.18713551 103.691711 -68.017854
    Unten rechts KachelX + 1 103290 KachelY + 1 99722 1.80980971 -1.18713551 103.694458 -68.017854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18711756--1.18713551) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dl = 114.35945000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18711756--1.18713551) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dr = 114.35945000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80976177-1.80980971) × cos(-1.18711756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374334292441376 × 6371000     		do = 114.331328276209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80976177-1.80980971) × cos(-1.18713551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374317647456916 × 6371000     		du = 114.326244469513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18711756)-sin(-1.18713551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374334292441376-0.374317647456916)×R²
    abs(1.80980971-1.80976177)×1.66449844600236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66449844600236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66449844600236e-05×40589641000000     		ar = 13074.5771291712m²