Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103279 / 97904
↖ ↑ ↗
← S 66.071547°
E103.664245°		 ← 123.88 m → S 66.071547°
E103.666992°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.072660°
E103.664245°		 ← 123.87 m →
15 342 m²		 S 66.072660°
E103.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787960052490234 y=0.746952056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787960052490234 × 217)
    floor (0.787960052490234 × 131072)
    floor (103279.5)     		tx = 103279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746952056884766 × 217)
    floor (0.746952056884766 × 131072)
    floor (97904.5)     		ty = 97904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103279 / 97904 ti = "17/103279/97904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103279/97904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103279 ÷ 217
    103279 ÷ 131072     		x = 0.787956237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97904 ÷ 217
    97904 ÷ 131072     		y = 0.7469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787956237792969 × 2 - 1) × π
    0.575912475585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.80928240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55162156690198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80928240} λ = 1.80928240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55162156690198))-π/2
    2×atan(0.21190407843742)-π/2
    2×0.208815149308261-π/2
    0.417630298616522-1.57079632675     		φ = -1.15316603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80928240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.664245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15316603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.071547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103279 KachelY 97904 1.80928240 -1.15316603 103.664245 -66.071547
    Oben rechts KachelX + 1 103280 KachelY 97904 1.80933034 -1.15316603 103.666992 -66.071547
    Unten links KachelX 103279 KachelY + 1 97905 1.80928240 -1.15318547 103.664245 -66.072660
    Unten rechts KachelX + 1 103280 KachelY + 1 97905 1.80933034 -1.15318547 103.666992 -66.072660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15316603--1.15318547) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15316603--1.15318547) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80928240-1.80933034) × cos(-1.15316603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405595560408748 × 6371000     		do = 123.879324178475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80928240-1.80933034) × cos(-1.15318547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405577791148653 × 6371000     		du = 123.873896989061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15316603)-sin(-1.15318547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405595560408748-0.405577791148653)×R²
    abs(1.80933034-1.80928240)×1.77692600953905e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77692600953905e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77692600953905e-05×40589641000000     		ar = 15342.3957048386m²